Номер 9.36, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.36. Решите уравнение:

1) $\sqrt[6]{x^6} = x-4;$

2) $\sqrt[10]{x^{10}} = 6-x;$

3) $2\sqrt[4]{x^4} = x+3.$

1)

Исходное уравнение: $\sqrt[6]{x^6} = x - 4$.

Поскольку корень четной степени (в данном случае 6-й) из выражения в той же степени равен модулю этого выражения, мы можем переписать уравнение, используя тождество $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$|x| = x - 4$.

Левая часть уравнения, $|x|$, по определению модуля, всегда неотрицательна ($|x| \ge 0$). Следовательно, и правая часть уравнения должна быть неотрицательной:

$x - 4 \ge 0$, откуда следует, что $x \ge 4$.

Если $x \ge 4$, то $x$ является положительным числом, и для таких $x$ модуль $|x|$ равен самому числу $x$.

Подставим $|x| = x$ в уравнение:

$x = x - 4$

Вычитая $x$ из обеих частей уравнения, получаем:

$0 = -4$

Полученное равенство является ложным. Это означает, что не существует значений $x$, которые удовлетворяли бы исходному уравнению.

Ответ: нет корней.

2)

Исходное уравнение: $\sqrt[10]{x^{10}} = 6 - x$.

Используя свойство корня четной степени $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$, преобразуем левую часть уравнения:

$|x| = 6 - x$.

Для решения этого уравнения необходимо рассмотреть два случая, основанных на определении модуля числа.

Случай 1: $x \ge 0$.

В этом случае $|x| = x$, и уравнение принимает вид:

$x = 6 - x$

$2x = 6$

$x = 3$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию этого случая ($x \ge 0$). Так как $3 \ge 0$, корень $x = 3$ является решением.

Случай 2: $x < 0$.

В этом случае $|x| = -x$, и уравнение принимает вид:

$-x = 6 - x$

$0 = 6$

Это равенство ложно, следовательно, в данном случае решений нет.

Единственным решением уравнения является $x = 3$. Проверим его, подставив в исходное уравнение:

$\sqrt[10]{3^{10}} = 6 - 3$

$3 = 3$

Равенство верное.

Ответ: 3.

3)

Исходное уравнение: $2\sqrt[4]{x^4} = x + 3$.

Корень четвертой (четной) степени из $x^4$ равен модулю $x$: $\sqrt[4]{x^4} = |x|$.

Подставив это в уравнение, получим:

$2|x| = x + 3$.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.

Случай 1: $x \ge 0$.

При этом условии $|x| = x$. Уравнение становится:

$2x = x + 3$

$2x - x = 3$

$x = 3$

Поскольку $3 \ge 0$, это значение является корнем уравнения.

Случай 2: $x < 0$.

При этом условии $|x| = -x$. Уравнение становится:

$2(-x) = x + 3$

$-2x = x + 3$

$-3x = 3$

$x = -1$

Поскольку $-1 < 0$, это значение также является корнем уравнения.

Таким образом, уравнение имеет два корня: $x=3$ и $x=-1$.

Ответ: -1; 3.