Номер 9.31, страница 77 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.31. Решите уравнение:

1) $\sqrt[4]{(x+4)^4} = x+4;$

2) $\sqrt[4]{(1-3x)^8} = (1-3x)^2;$

3) $\sqrt[6]{(x^2 - 2x - 3)^6} = 3 + 2x - x^2.$

1) Исходное уравнение: $\sqrt[4]{(x + 4)^4} = x + 4$.
Согласно свойству корня четной степени, $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Применив это свойство к левой части уравнения, получим:
$|x + 4| = x + 4$.
Уравнение вида $|A| = A$ справедливо только в том случае, когда выражение под модулем неотрицательно, то есть $A \ge 0$.
В нашем случае это означает, что $x + 4 \ge 0$.
Решая это простое неравенство, получаем:
$x \ge -4$.
Таким образом, решением уравнения является любой $x$ из промежутка $[-4; +\infty)$.
Ответ: $x \in [-4; +\infty)$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt[4]{(1 - 3x)^8} = (1 - 3x)^2$.
Преобразуем подкоренное выражение: $(1 - 3x)^8 = ((1 - 3x)^2)^4$.
Теперь уравнение выглядит так: $\sqrt[4]{((1 - 3x)^2)^4} = (1 - 3x)^2$.
Используя свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$, получаем:
$|(1 - 3x)^2| = (1 - 3x)^2$.
Выражение, возведенное в квадрат, $(1 - 3x)^2$, всегда является неотрицательным числом для любого действительного $x$. То есть, $(1 - 3x)^2 \ge 0$.
Следовательно, модуль этого выражения равен самому выражению: $|(1 - 3x)^2| = (1 - 3x)^2$.
Мы получили тождество $(1 - 3x)^2 = (1 - 3x)^2$, которое верно при любом значении $x$.
Область определения исходного уравнения ($ (1-3x)^8 \ge 0 $) также выполняется для всех действительных чисел.
Ответ: $x$ - любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

3) Исходное уравнение: $\sqrt[6]{(x^2 - 2x - 3)^6} = 3 + 2x - x^2$.
Применим свойство корня четной степени $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$ к левой части:
$|x^2 - 2x - 3| = 3 + 2x - x^2$.
Обратим внимание на правую часть уравнения. Если вынести минус за скобки, получим: $3 + 2x - x^2 = -(x^2 - 2x - 3)$.
Обозначим $A = x^2 - 2x - 3$. Тогда уравнение примет вид $|A| = -A$.
Равенство вида $|A| = -A$ справедливо только тогда, когда выражение под модулем неположительно, то есть $A \le 0$.
Таким образом, нам нужно решить неравенство:
$x^2 - 2x - 3 \le 0$.
Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Так как парабола $y = x^2 - 2x - 3$ имеет ветви, направленные вверх, ее значения будут неположительными ($y \le 0$) на отрезке между корнями.
Следовательно, решением неравенства является промежуток $-1 \le x \le 3$.
Ответ: $x \in [-1; 3]$.