Номер 9.28, страница 77 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.28. Вычислите значение выражения:

1) $\frac{5\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{54} + \sqrt[3]{250}}{\sqrt[3]{2}}$

2) $\frac{(\sqrt[4]{24} - \sqrt[4]{6})^2}{4\sqrt{3} - 3\sqrt{6}}$

1) Чтобы вычислить значение выражения $ \frac{5\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{54} + \sqrt[3]{250}}{\sqrt[3]{2}} $, сначала упростим числитель. Для этого вынесем множители из-под знаков кубических корней.
Упростим каждый корень в числителе:
$ \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2} $
$ \sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{125 \cdot 2} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 2} = 5\sqrt[3]{2} $
Теперь подставим упрощенные значения обратно в числитель и приведем подобные слагаемые:
$ 5\sqrt[3]{2} - 3\sqrt[3]{2} + 5\sqrt[3]{2} = (5 - 3 + 5)\sqrt[3]{2} = 7\sqrt[3]{2} $
После упрощения числителя все выражение принимает вид:
$ \frac{7\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} $
Сокращаем дробь на $ \sqrt[3]{2} $:
$ \frac{7\cancel{\sqrt[3]{2}}}{\cancel{\sqrt[3]{2}}} = 7 $
Ответ: 7

2) Чтобы вычислить значение выражения $ \frac{(\sqrt[4]{24} - \sqrt[4]{6})^2}{4\sqrt{3} - 3\sqrt{6}} $, начнем с упрощения числителя.
Возведем выражение в скобках в квадрат, используя формулу квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:
$ (\sqrt[4]{24} - \sqrt[4]{6})^2 = (\sqrt[4]{24})^2 - 2 \cdot \sqrt[4]{24} \cdot \sqrt[4]{6} + (\sqrt[4]{6})^2 $
Вычислим каждое слагаемое по отдельности:
$ (\sqrt[4]{24})^2 = (24^{1/4})^2 = 24^{2/4} = 24^{1/2} = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} $
$ (\sqrt[4]{6})^2 = (6^{1/4})^2 = 6^{2/4} = 6^{1/2} = \sqrt{6} $
$ 2 \cdot \sqrt[4]{24} \cdot \sqrt[4]{6} = 2 \cdot \sqrt[4]{24 \cdot 6} = 2 \cdot \sqrt[4]{144} = 2 \cdot \sqrt[4]{12^2} = 2 \cdot 12^{2/4} = 2 \cdot 12^{1/2} = 2\sqrt{12} = 2\sqrt{4 \cdot 3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} $
Теперь соберем все слагаемые числителя вместе:
$ 2\sqrt{6} - 4\sqrt{3} + \sqrt{6} = (2\sqrt{6} + \sqrt{6}) - 4\sqrt{3} = 3\sqrt{6} - 4\sqrt{3} $
Подставим упрощенный числитель в исходную дробь:
$ \frac{3\sqrt{6} - 4\sqrt{3}}{4\sqrt{3} - 3\sqrt{6}} $
Заметим, что числитель и знаменатель являются противоположными выражениями. Вынесем -1 за скобки в числителе:
$ 3\sqrt{6} - 4\sqrt{3} = -( -3\sqrt{6} + 4\sqrt{3}) = -(4\sqrt{3} - 3\sqrt{6}) $
Подставим это обратно в дробь и сократим:
$ \frac{-(4\sqrt{3} - 3\sqrt{6})}{4\sqrt{3} - 3\sqrt{6}} = -1 $
Ответ: -1