Номер 9.26, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.26. Упростите выражение:

1) $\sqrt[4]{625a^{24}};$

2) $\sqrt[4]{0,0001b^{20}}$, если $b \geq 0;$

3) $-5\sqrt{4x^2}$, если $x \leq 0;$

4) $\sqrt[10]{p^{30}q^{40}}$, если $p \geq 0;$

5) $\sqrt[12]{m^{36}n^{60}}$, если $m \leq 0, n \leq 0;$

6) $ab^2\sqrt[4]{a^{48}b^{36}c^{44}}$, если $b \geq 0, c \leq 0.$

1) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{625a^{24}}$ представим подкоренное выражение в виде четвертой степени. Число 625 это $5^4$. Переменную $a^{24}$ можно представить как $(a^6)^4$. Таким образом, выражение принимает вид: $\sqrt[4]{625a^{24}} = \sqrt[4]{5^4 \cdot (a^6)^4} = \sqrt[4]{(5a^6)^4}$. При извлечении корня четной степени из выражения, возведенного в ту же степень, результатом является модуль этого выражения: $\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$. Следовательно, $\sqrt[4]{(5a^6)^4} = |5a^6|$. Так как 5 - положительное число, а $a^6$ всегда неотрицательно (поскольку степень 6 четная), то и все выражение $5a^6$ неотрицательно. Поэтому модуль можно опустить. $|5a^6| = 5a^6$.
Ответ: $5a^6$.

2) Упростим выражение $\sqrt[4]{0,0001b^{20}}$ при условии $b \ge 0$. Представим подкоренное выражение в виде четвертой степени: $0,0001 = (0,1)^4$ и $b^{20} = (b^5)^4$. $\sqrt[4]{0,0001b^{20}} = \sqrt[4]{(0,1)^4 \cdot (b^5)^4} = \sqrt[4]{(0,1b^5)^4}$. Так как степень корня (4) четная, получаем: $|0,1b^5|$. По условию $b \ge 0$, следовательно $b^5 \ge 0$. Произведение $0,1b^5$ также неотрицательно. Поэтому $|0,1b^5| = 0,1b^5$.
Ответ: $0,1b^5$.

3) Упростим выражение $-5\sqrt{4x^2}$ при условии $x \le 0$. Сначала упростим корень: $\sqrt{4x^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x^2}$. Известно, что $\sqrt{4} = 2$ и $\sqrt{x^2} = |x|$. Таким образом, $\sqrt{4x^2} = 2|x|$. Подставим это в исходное выражение: $-5 \cdot (2|x|) = -10|x|$. По условию $x \le 0$. По определению модуля, если $x$ — неположительное число, то $|x| = -x$. Заменим $|x|$ на $-x$ в нашем выражении: $-10(-x) = 10x$.
Ответ: $10x$.

4) Упростим выражение $\sqrt[10]{p^{30}q^{40}}$ при условии $p \ge 0$. Представим степени под корнем как степени с показателем 10: $p^{30} = (p^3)^{10}$ и $q^{40} = (q^4)^{10}$. $\sqrt[10]{p^{30}q^{40}} = \sqrt[10]{(p^3)^{10}(q^4)^{10}} = \sqrt[10]{(p^3q^4)^{10}}$. Так как степень корня (10) четная, результатом будет модуль выражения: $|p^3q^4| = |p^3| \cdot |q^4|$. Рассмотрим каждый модуль: - По условию $p \ge 0$, значит $p^3 \ge 0$, и $|p^3| = p^3$. - Выражение $q^4$ всегда неотрицательно, так как имеет четный показатель (4). Следовательно, $|q^4| = q^4$. Объединяя результаты, получаем $p^3 \cdot q^4 = p^3q^4$.
Ответ: $p^3q^4$.

5) Упростим выражение $\sqrt[12]{m^{36}n^{60}}$ при условии $m \le 0$ и $n \le 0$. Представим степени под корнем как степени с показателем 12: $m^{36} = (m^3)^{12}$ и $n^{60} = (n^5)^{12}$. $\sqrt[12]{m^{36}n^{60}} = \sqrt[12]{(m^3)^{12}(n^5)^{12}} = \sqrt[12]{(m^3n^5)^{12}}$. Так как степень корня (12) четная, получаем модуль: $|m^3n^5| = |m^3| \cdot |n^5|$. Раскроем модули с учетом условий: - По условию $m \le 0$, а степень 3 нечетная, поэтому $m^3 \le 0$. Следовательно, $|m^3| = -m^3$. - По условию $n \le 0$, а степень 5 нечетная, поэтому $n^5 \le 0$. Следовательно, $|n^5| = -n^5$. Перемножаем полученные выражения: $(-m^3) \cdot (-n^5) = m^3n^5$.
Ответ: $m^3n^5$.

6) Упростим выражение $ab^2\sqrt[4]{a^{48}b^{36}c^{44}}$ при условии $b \ge 0$ и $c \le 0$. Сначала упростим корень $\sqrt[4]{a^{48}b^{36}c^{44}}$. Используем свойство $\sqrt[n]{x^k} = |x^{k/n}|$ для четного $n$: $\sqrt[4]{a^{48}b^{36}c^{44}} = \sqrt[4]{a^{48}} \cdot \sqrt[4]{b^{36}} \cdot \sqrt[4]{c^{44}} = |a^{48/4}| \cdot |b^{36/4}| \cdot |c^{44/4}| = |a^{12}| \cdot |b^9| \cdot |c^{11}|$. Теперь раскроем модули с учетом условий: - $|a^{12}|$: степень 12 четная, поэтому $a^{12} \ge 0$. Значит, $|a^{12}| = a^{12}$. - $|b^9|$: по условию $b \ge 0$, поэтому $b^9 \ge 0$. Значит, $|b^9| = b^9$. - $|c^{11}|$: по условию $c \le 0$, а степень 11 нечетная, поэтому $c^{11} \le 0$. Значит, $|c^{11}| = -c^{11}$. Результат извлечения корня: $a^{12} \cdot b^9 \cdot (-c^{11}) = -a^{12}b^9c^{11}$. Теперь умножим это на множитель перед корнем $ab^2$: $ab^2 \cdot (-a^{12}b^9c^{11}) = - (a^1 \cdot a^{12}) \cdot (b^2 \cdot b^9) \cdot c^{11} = -a^{1+12}b^{2+9}c^{11} = -a^{13}b^{11}c^{11}$.
Ответ: $-a^{13}b^{11}c^{11}$.