Номер 9.21, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.21. При каких значениях $a$ выполняется равенство:

1) $\sqrt[4]{a^4} = a$;

2) $\sqrt[4]{a^4} = -a$;

3) $\sqrt[3]{a^3} = a$;

4) $\sqrt[3]{a^3} = -a$;

5) $\sqrt[4]{(a-5)^3} = (\sqrt[4]{a-5})^3$;

6) $\sqrt[3]{(a-5)^4} = (\sqrt[3]{a-5})^4$?

1) Рассматриваем равенство $\sqrt[4]{a^4} = a$.

По определению арифметического корня четной степени, $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$. В нашем случае, при $n=2$, имеем $\sqrt[4]{a^4} = |a|$.

Таким образом, исходное равенство эквивалентно уравнению $|a| = a$.

По определению модуля числа, это равенство выполняется тогда и только тогда, когда число $a$ неотрицательно.

Ответ: $a \ge 0$.

2) Рассматриваем равенство $\sqrt[4]{a^4} = -a$.

Как и в предыдущем пункте, левая часть равна $|a|$. Получаем уравнение $|a| = -a$.

По определению модуля числа, это равенство выполняется тогда и только тогда, когда число $a$ неположительно.

Ответ: $a \le 0$.

3) Рассматриваем равенство $\sqrt[3]{a^3} = a$.

Корень нечетной степени из числа, возведенного в ту же степень, равен самому числу: $\sqrt[2n+1]{x^{2n+1}} = x$ для любого действительного $x$.

Следовательно, $\sqrt[3]{a^3} = a$. Равенство принимает вид $a = a$, что является тождеством.

Это означает, что равенство верно для любого действительного значения $a$.

Ответ: $a$ - любое действительное число ($a \in \mathbb{R}$).

4) Рассматриваем равенство $\sqrt[3]{a^3} = -a$.

По свойству корня нечетной степени, $\sqrt[3]{a^3} = a$.

Таким образом, исходное равенство принимает вид $a = -a$.

Перенеся $-a$ в левую часть, получаем $a + a = 0$, или $2a = 0$. Отсюда $a = 0$.

Равенство выполняется только при $a=0$.

Ответ: $a = 0$.

5) Рассматриваем равенство $\sqrt[4]{(a-5)^3} = (\sqrt[4]{a-5})^3$.

Это равенство вида $\sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m$. Оно является тождеством на общей области определения левой и правой частей.

Найдем область определения для левой части: $\sqrt[4]{(a-5)^3}$. Так как корень четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $(a-5)^3 \ge 0$. Это неравенство равносильно $a-5 \ge 0$, откуда $a \ge 5$.

Найдем область определения для правой части: $(\sqrt[4]{a-5})^3$. Выражение под корнем четной степени также должно быть неотрицательным: $a-5 \ge 0$, откуда $a \ge 5$.

Области определения обеих частей совпадают. Следовательно, равенство выполняется при всех $a$, принадлежащих этой области.

Ответ: $a \ge 5$.

6) Рассматриваем равенство $\sqrt[3]{(a-5)^4} = (\sqrt[3]{a-5})^4$.

Это равенство также имеет вид $\sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m$.

Найдем область определения. Корень нечетной степени ($n=3$) определен для любого действительного подкоренного выражения.

Для левой части $\sqrt[3]{(a-5)^4}$: выражение $(a-5)^4$ определено при любом $a$.

Для правой части $(\sqrt[3]{a-5})^4$: выражение $\sqrt[3]{a-5}$ определено при любом $a$.

Так как обе части равенства определены для любого действительного числа $a$, и для нечетного показателя корня свойство $\sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m$ является тождеством, то данное равенство верно при любом $a$.

Ответ: $a$ - любое действительное число ($a \in \mathbb{R}$).