Номер 9.14, страница 75 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.14. Внесите множитель под знак корня:

1) $\frac{1}{4} \sqrt[3]{320};$

2) $2\sqrt[4]{7};$

3) $5\sqrt[4]{4a};$

4) $2x^3\sqrt[5]{\frac{x^3}{8}}.$

1) Чтобы внести множитель $ \frac{1}{4} $ под знак кубического корня, необходимо возвести его в третью степень и умножить на подкоренное выражение. Общее правило: $a\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n b}$.

Применим это правило:

$ \frac{1}{4}\sqrt[3]{320} = \sqrt[3]{(\frac{1}{4})^3 \cdot 320} $

Сначала вычислим значение множителя в кубе:

$ (\frac{1}{4})^3 = \frac{1^3}{4^3} = \frac{1}{64} $

Теперь подставим это значение обратно в выражение под корнем и выполним умножение:

$ \sqrt[3]{\frac{1}{64} \cdot 320} = \sqrt[3]{\frac{320}{64}} $

Сократим дробь под корнем:

$ \frac{320}{64} = 5 $

В результате получаем:

$ \sqrt[3]{5} $

Ответ: $ \sqrt[3]{5} $

2) Чтобы внести множитель $2$ под знак корня четвертой степени, нужно возвести его в четвертую степень и умножить на подкоренное число.

$ 2\sqrt[4]{7} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 7} $

Вычислим степень множителя:

$ 2^4 = 16 $

Теперь умножим результат на число под корнем:

$ \sqrt[4]{16 \cdot 7} = \sqrt[4]{112} $

Ответ: $ \sqrt[4]{112} $

3) Чтобы внести множитель $5$ под знак корня четвертой степени, возведем его в четвертую степень. Это преобразование является верным при условии, что подкоренное выражение неотрицательно ($4a \ge 0$, то есть $a \ge 0$).

$ 5\sqrt[4]{4a} = \sqrt[4]{5^4 \cdot 4a} $

Вычислим степень множителя:

$ 5^4 = 625 $

Теперь умножим результат на выражение под корнем:

$ \sqrt[4]{625 \cdot 4a} = \sqrt[4]{2500a} $

Ответ: $ \sqrt[4]{2500a} $

4) Чтобы внести множитель $2x^3$ под знак корня пятой степени, необходимо возвести весь множитель в пятую степень. Так как степень корня ($5$) нечетная, знак множителя сохраняется, и на переменную $x$ не накладывается никаких ограничений.

$ 2x^3\sqrt[5]{\frac{x^3}{8}} = \sqrt[5]{(2x^3)^5 \cdot \frac{x^3}{8}} $

Возведем множитель в степень:

$ (2x^3)^5 = 2^5 \cdot (x^3)^5 = 32x^{15} $

Теперь перемножим выражения под знаком корня:

$ \sqrt[5]{32x^{15} \cdot \frac{x^3}{8}} = \sqrt[5]{\frac{32}{8} \cdot x^{15} \cdot x^3} $

Упростим выражение под корнем, используя свойства степеней ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):

$ \sqrt[5]{4 \cdot x^{15+3}} = \sqrt[5]{4x^{18}} $

Ответ: $ \sqrt[5]{4x^{18}} $