Номер 9.12, страница 75 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.12. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{80};$

2) $\sqrt[3]{432};$

3) $\sqrt[3]{54y^8};$

4) $\sqrt[4]{243b^9c^{18}}.$

1) Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt[4]{80}$, необходимо разложить подкоренное число на множители так, чтобы один из них был точной четвертой степенью.
Разложим число 80 на простые множители: $80 = 16 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5$.
Теперь вынесем множитель $2^4$ из-под корня четвертой степени:
$\sqrt[4]{80} = \sqrt[4]{16 \cdot 5} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 5} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{5} = 2\sqrt[4]{5}$.
Ответ: $2\sqrt[4]{5}$

2) В выражении $\sqrt[3]{432}$ разложим число 432 на множители, чтобы найти среди них точный куб.
$432 = 216 \cdot 2$. Число 216 является кубом числа 6, так как $6^3 = 216$.
Следовательно, выносим множитель из-под знака корня:
$\sqrt[3]{432} = \sqrt[3]{216 \cdot 2} = \sqrt[3]{6^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{6^3} \cdot \sqrt[3]{2} = 6\sqrt[3]{2}$.
Ответ: $6\sqrt[3]{2}$

3) Для выражения $\sqrt[3]{54y^8}$ разложим на множители коэффициент и переменную часть, ища точные кубы.
Коэффициент: $54 = 27 \cdot 2 = 3^3 \cdot 2$.
Переменная: $y^8 = y^{6+2} = y^6 \cdot y^2 = (y^2)^3 \cdot y^2$.
Подставляем в исходное выражение и выносим множители:
$\sqrt[3]{54y^8} = \sqrt[3]{(3^3 \cdot 2) \cdot ((y^2)^3 \cdot y^2)} = \sqrt[3]{(3^3 \cdot (y^2)^3) \cdot (2y^2)} = \sqrt[3]{(3y^2)^3} \cdot \sqrt[3]{2y^2} = 3y^2\sqrt[3]{2y^2}$.
Ответ: $3y^2\sqrt[3]{2y^2}$

4) В выражении $\sqrt[4]{243b^9c^{18}}$ разложим на множители каждый компонент подкоренного выражения, выделяя четвертые степени.
$243 = 81 \cdot 3 = 3^4 \cdot 3$.
$b^9 = b^8 \cdot b = (b^2)^4 \cdot b$.
$c^{18} = c^{16} \cdot c^2 = (c^4)^4 \cdot c^2$.
Заметим, что корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений. То есть $243b^9c^{18} \ge 0$. Поскольку $243 > 0$ и $c^{18} \ge 0$, требуется $b^9 \ge 0$, что означает $b \ge 0$.
Группируем множители и выносим из-под знака корня:
$\sqrt[4]{243b^9c^{18}} = \sqrt[4]{(3^4 \cdot (b^2)^4 \cdot (c^4)^4) \cdot (3bc^2)} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{(b^2)^4} \cdot \sqrt[4]{(c^4)^4} \cdot \sqrt[4]{3bc^2}$.
Так как $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ для четного $n$, получаем: $3 \cdot |b^2| \cdot |c^4| \cdot \sqrt[4]{3bc^2}$.
Поскольку $b^2$ и $c^4$ всегда неотрицательны, их модули равны самим выражениям: $|b^2| = b^2$ и $|c^4| = c^4$.
Итоговый результат: $3b^2c^4\sqrt[4]{3bc^2}$.
Ответ: $3b^2c^4\sqrt[4]{3bc^2}$