Номер 9.9, страница 75 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.9. Представьте выражение $\sqrt{a}$ в виде корня:

1) четвёртой степени;

2) шестой степени;

3) четырнадцатой степени;

4) восемнадцатой степени.

Чтобы представить выражение с корнем в виде корня другой степени, используется основное свойство корня. Оно гласит, что если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится. В виде формулы это выглядит так:

$\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot k]{a^{m \cdot k}}$

Исходное выражение — это $\sqrt{a}$. Квадратный корень — это корень второй степени, а $a$ можно представить как $a$ в первой степени. Таким образом, имеем:

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1}$

Применим это свойство для каждого из подпунктов.

1) четвёртой степени;

Требуется представить $\sqrt[2]{a}$ в виде корня четвёртой степени, то есть $\sqrt[4]{...}$. Чтобы получить из показателя корня 2 показатель 4, нужно умножить его на 2. Следовательно, $k=2$. Согласно основному свойству корня, показатель степени подкоренного выражения также нужно умножить на 2.

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 2]{a^{1 \cdot 2}} = \sqrt[4]{a^2}$

Ответ: $\sqrt[4]{a^2}$.

2) шестой степени;

Требуется представить $\sqrt[2]{a}$ в виде корня шестой степени, то есть $\sqrt[6]{...}$. Чтобы получить из показателя корня 2 показатель 6, нужно умножить его на 3. Следовательно, $k=3$. Показатель степени подкоренного выражения также умножаем на 3.

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 3]{a^{1 \cdot 3}} = \sqrt[6]{a^3}$

Ответ: $\sqrt[6]{a^3}$.

3) четырнадцатой степени;

Требуется представить $\sqrt[2]{a}$ в виде корня четырнадцатой степени, то есть $\sqrt[14]{...}$. Чтобы получить из показателя корня 2 показатель 14, нужно умножить его на 7. Следовательно, $k=7$. Показатель степени подкоренного выражения также умножаем на 7.

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 7]{a^{1 \cdot 7}} = \sqrt[14]{a^7}$

Ответ: $\sqrt[14]{a^7}$.

4) восемнадцатой степени.

Требуется представить $\sqrt[2]{a}$ в виде корня восемнадцатой степени, то есть $\sqrt[18]{...}$. Чтобы получить из показателя корня 2 показатель 18, нужно умножить его на 9. Следовательно, $k=9$. Показатель степени подкоренного выражения также умножаем на 9.

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 9]{a^{1 \cdot 9}} = \sqrt[18]{a^9}$

Ответ: $\sqrt[18]{a^9}$.