Номер 9.7, страница 75 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.7. Упростите выражение:

1) $\sqrt[5]{\sqrt{a}}$;2) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{x}}$;3) $\sqrt[15]{c^6}$;4) $\sqrt[18]{a^8 b^{24}}$;5) $\sqrt[12]{81}$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt{\sqrt[5]{a}}$ используется свойство корня из корня, которое гласит: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x}$. В данном выражении внешний корень является квадратным, что означает, что его показатель $m=2$. Показатель внутреннего корня $n=5$.

Чтобы найти показатель результирующего корня, нужно перемножить показатели исходных корней: $2 \cdot 5 = 10$.

Таким образом, выражение упрощается следующим образом:

$\sqrt{\sqrt[5]{a}} = \sqrt[2 \cdot 5]{a} = \sqrt[10]{a}$.

Ответ: $\sqrt[10]{a}$.

2) Выражение $\sqrt[4]{\sqrt[3]{x}}$ упрощается аналогично предыдущему примеру, с использованием свойства $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x}$.

Здесь показатель внешнего корня $m=4$, а внутреннего — $n=3$.

Перемножаем показатели корней: $4 \cdot 3 = 12$.

$\sqrt[4]{\sqrt[3]{x}} = \sqrt[4 \cdot 3]{x} = \sqrt[12]{x}$.

Ответ: $\sqrt[12]{x}$.

3) Для упрощения выражения $\sqrt[15]{c^6}$ применяется основное свойство корня: $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$. Это свойство позволяет разделить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель.

В данном случае показатель корня равен 15, а показатель степени подкоренного выражения равен 6. Найдём их наибольший общий делитель (НОД). НОД(15, 6) = 3.

Разделим показатель корня и показатель степени на 3:

$\sqrt[15]{c^6} = \sqrt[15 \div 3]{c^{6 \div 3}} = \sqrt[5]{c^2}$.

Ответ: $\sqrt[5]{c^2}$.

4) Упростим выражение $\sqrt[18]{a^8 b^{24}}$. Предполагается, что переменные $a$ и $b$ являются неотрицательными ($a \ge 0, b \ge 0$).

Сначала мы можем упростить корень, разделив его показатель (18) и показатели степеней подкоренного выражения (8 и 24) на их наибольший общий делитель. НОД(18, 8, 24) = 2.

$\sqrt[18]{a^8 b^{24}} = \sqrt[18 \div 2]{a^{8 \div 2} b^{24 \div 2}} = \sqrt[9]{a^4 b^{12}}$.

Далее, можно вынести множители из-под знака корня. Так как показатель степени у множителя $b^{12}$ больше показателя корня 9, мы можем представить $b^{12}$ как $b^9 \cdot b^3$.

$\sqrt[9]{a^4 b^{12}} = \sqrt[9]{a^4 \cdot b^9 \cdot b^3} = \sqrt[9]{b^9} \cdot \sqrt[9]{a^4 b^3}$.

Так как $\sqrt[9]{b^9} = b$, получаем окончательное упрощённое выражение:

$b \sqrt[9]{a^4 b^3}$.

Ответ: $b \sqrt[9]{a^4 b^3}$.

5) Упростим выражение $\sqrt[12]{81}$.

Первым шагом представим число 81 в виде степени. Известно, что $81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4$.

Подставим это значение в наше выражение:

$\sqrt[12]{81} = \sqrt[12]{3^4}$.

Теперь используем основное свойство корня $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$. Показатель корня равен 12, а показатель степени — 4. Наибольший общий делитель этих чисел НОД(12, 4) = 4.

Разделим показатель корня и показатель степени на 4:

$\sqrt[12]{3^4} = \sqrt[12 \div 4]{3^{4 \div 4}} = \sqrt[3]{3^1} = \sqrt[3]{3}$.

Ответ: $\sqrt[3]{3}$.