Номер 6, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6. Сформулируйте вторую теорему о корне из степени.

Вторая теорема о корне из степени, также известная как основное свойство арифметического корня, устанавливает правило для изменения показателя корня и показателя степени подкоренного выражения.

Формулировка теоремы:

Если показатель корня $n$ и показатель степени подкоренного выражения $m$ умножить на одно и то же натуральное число $k$, то значение корня не изменится. И наоборот, если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения имеют общий делитель, на который их можно разделить, то значение корня от этого не изменится.

В виде формулы это свойство записывается так:

Для любого неотрицательного числа $a$ ($a \ge 0$) и любых натуральных чисел $n, m, k$ (где $n \ge 2, k \ge 1$) справедливо равенство:

$\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$

Это равенство можно читать как слева направо (сокращение показателя корня и степени), так и справа налево (приведение корня к новому показателю).

Доказательство:

Для доказательства этой теоремы воспользуемся определением арифметического корня $n$-й степени. Напомним, что для $b \ge 0$ равенство $\sqrt[n]{b} = c$ означает, что $c \ge 0$ и $c^n = b$.

Докажем, что $\sqrt[n]{a^m}$ является корнем степени $nk$ из $a^{mk}$.
Пусть $c = \sqrt[n]{a^m}$. Поскольку $a \ge 0$, то и $a^m \ge 0$, а значит, и $c = \sqrt[n]{a^m} \ge 0$.
По определению корня, если возвести $c$ в степень $n$, получим подкоренное выражение: $c^n = a^m$.
Теперь возведем обе части этого равенства в степень $k$ (где $k$ - натуральное число):
$(c^n)^k = (a^m)^k$
По свойству степени $(x^p)^q = x^{pq}$, получаем:
$c^{nk} = a^{mk}$
Мы получили, что неотрицательное число $c$ при возведении в степень $nk$ дает в результате $a^{mk}$. По определению арифметического корня степени $nk$ это и означает, что $c$ является этим корнем:
$c = \sqrt[nk]{a^{mk}}$
Поскольку мы изначально обозначили $c = \sqrt[n]{a^m}$, то получаем тождество:$\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[nk]{a^{mk}}$, что и требовалось доказать.

Примеры применения теоремы:

1. Сокращение (упрощение) корней. Показатель корня и показатель степени подкоренного выражения делятся на их общий делитель.
Пример: Упростить $\sqrt[6]{27}$.
$\sqrt[6]{27} = \sqrt[6]{3^3}$. Здесь показатель корня 6 и показатель степени 3 имеют общий делитель 3. Разделим их на 3:
$\sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6/3]{3^{3/3}} = \sqrt[2]{3^1} = \sqrt{3}$.

2. Приведение корней к общему показателю. Это действие необходимо, например, для сравнения корней или их умножения/деления.
Пример: Сравнить числа $\sqrt{3}$ и $\sqrt[3]{5}$.
Показатели корней — 2 и 3. Наименьшее общее кратное для них — 6. Приведем оба корня к показателю 6, используя теорему (умножая показатели корня и степени на соответствующее число):
$\sqrt{3} = \sqrt[2]{3^1} = \sqrt[2 \cdot 3]{3^{1 \cdot 3}} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{27}$.
$\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{5^1} = \sqrt[3 \cdot 2]{5^{1 \cdot 2}} = \sqrt[6]{5^2} = \sqrt[6]{25}$.
Теперь, когда корни имеют одинаковый показатель, мы можем сравнить их подкоренные выражения: $27 > 25$.
Следовательно, $\sqrt[6]{27} > \sqrt[6]{25}$, а значит, $\sqrt{3} > \sqrt[3]{5}$.

Ответ: Вторая теорема о корне из степени (основное свойство корня) гласит, что если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится. Для любого $a \ge 0$ и натуральных $n \ge 2, m, k$ выполняется равенство: $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$.