Номер 9.6, страница 75 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.6. Представьте выражение в виде одночлена, если $m \ge 0$ и $n \ge 0$:

1) $\sqrt[3]{125n^{15}},$

2) $\sqrt[6]{0.000064m^{30}n^{42}};$

3) $\sqrt[8]{m^{72}n^{24}}.$

1) Для того чтобы представить выражение $\sqrt[3]{125n^{15}}$ в виде одночлена, воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt[k]{ab} = \sqrt[k]{a} \cdot \sqrt[k]{b}$.

$\sqrt[3]{125n^{15}} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{n^{15}}$

Теперь извлечем корень из каждого множителя по отдельности.

Кубический корень из 125: $\sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{5^3} = 5$.

Для извлечения корня из степени воспользуемся свойством $\sqrt[k]{a^p} = a^{\frac{p}{k}}$. Так как по условию $n \geq 0$ (хотя для корня нечетной степени это не меняет результат), получаем:

$\sqrt[3]{n^{15}} = n^{\frac{15}{3}} = n^5$.

Перемножим полученные результаты:

$5 \cdot n^5 = 5n^5$.

Ответ: $5n^5$.

2) Представим выражение $\sqrt[6]{0,000064m^{30}n^{42}}$ в виде одночлена. Применим свойство корня из произведения: $\sqrt[k]{abc} = \sqrt[k]{a} \cdot \sqrt[k]{b} \cdot \sqrt[k]{c}$.

$\sqrt[6]{0,000064m^{30}n^{42}} = \sqrt[6]{0,000064} \cdot \sqrt[6]{m^{30}} \cdot \sqrt[6]{n^{42}}$

Извлечем корень из каждого множителя.

Корень шестой степени из 0,000064. Заметим, что $0,2^6 = (2 \cdot 10^{-1})^6 = 2^6 \cdot 10^{-6} = 64 \cdot 10^{-6} = 0,000064$. Следовательно, $\sqrt[6]{0,000064} = 0,2$.

При извлечении корня четной степени из степени используется правило $\sqrt[2k]{a^{2k \cdot p}} = |a^p|$. По условию $m \geq 0$ и $n \geq 0$, поэтому модуль можно опустить.

$\sqrt[6]{m^{30}} = \sqrt[6]{(m^5)^6} = |m^5| = m^5$ (так как $m \geq 0$, то $m^5 \geq 0$).

$\sqrt[6]{n^{42}} = \sqrt[6]{(n^7)^6} = |n^7| = n^7$ (так как $n \geq 0$, то $n^7 \geq 0$).

Объединим результаты:

$0,2 \cdot m^5 \cdot n^7 = 0,2m^5n^7$.

Ответ: $0,2m^5n^7$.

3) Представим выражение $\sqrt[8]{m^{72}n^{24}}$ в виде одночлена. Используем свойство корня из произведения.

$\sqrt[8]{m^{72}n^{24}} = \sqrt[8]{m^{72}} \cdot \sqrt[8]{n^{24}}$

Воспользуемся свойством $\sqrt[k]{a^p} = a^{\frac{p}{k}}$. Так как корень имеет четный показатель (8), при извлечении корня необходимо учесть знак. Общее правило: $\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$.

$\sqrt[8]{m^{72}} = \sqrt[8]{(m^9)^8} = |m^9|$. Поскольку по условию $m \geq 0$, то $m^9 \geq 0$, и модуль можно опустить: $|m^9| = m^9$.

$\sqrt[8]{n^{24}} = \sqrt[8]{(n^3)^8} = |n^3|$. Поскольку по условию $n \geq 0$, то $n^3 \geq 0$, и модуль можно опустить: $|n^3| = n^3$.

Перемножим полученные одночлены:

$m^9 \cdot n^3 = m^9n^3$.

Ответ: $m^9n^3$.