Номер 9.10, страница 75 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.10. Представьте выражение $\sqrt[3]{b}, b \geq 0$, в виде корня:

1) шестой степени;

2) девятой степени;

3) пятнадцатой степени;

4) тридцатой степени.

Для того чтобы представить выражение $\sqrt[3]{b}$ в виде корня другой степени, мы воспользуемся основным свойством корня. Это свойство гласит, что для любого неотрицательного числа $a$ и натуральных чисел $n$ и $k$ справедливо равенство: $\sqrt[n]{a} = \sqrt[n \cdot k]{a^k}$.

Это означает, что мы можем умножить показатель корня и степень подкоренного выражения на одно и то же натуральное число, и значение корня при этом не изменится. В нашем случае подкоренное выражение $b$ можно представить как $b^1$.

1) шестой степени

Нам нужно представить корень третьей степени в виде корня шестой степени. Исходный показатель корня $n=3$, а желаемый — $n \cdot k = 6$. Найдем, на какое число $k$ нужно умножить исходный показатель:

$3 \cdot k = 6$

$k = 6 / 3 = 2$

Теперь, согласно свойству, мы должны умножить показатель корня на 2 и возвести подкоренное выражение $b$ в степень 2:

$\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{b^1} = \sqrt[3 \cdot 2]{b^{1 \cdot 2}} = \sqrt[6]{b^2}$

Ответ: $\sqrt[6]{b^2}$

2) девятой степени

Нам нужно представить корень третьей степени в виде корня девятой степени. Исходный показатель $n=3$, желаемый — $n \cdot k = 9$. Найдем число $k$:

$3 \cdot k = 9$

$k = 9 / 3 = 3$

Умножим показатель корня на 3 и возведем подкоренное выражение $b$ в степень 3:

$\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{b^1} = \sqrt[3 \cdot 3]{b^{1 \cdot 3}} = \sqrt[9]{b^3}$

Ответ: $\sqrt[9]{b^3}$

3) пятнадцатой степени

Нам нужно представить корень третьей степени в виде корня пятнадцатой степени. Исходный показатель $n=3$, желаемый — $n \cdot k = 15$. Найдем число $k$:

$3 \cdot k = 15$

$k = 15 / 3 = 5$

Умножим показатель корня на 5 и возведем подкоренное выражение $b$ в степень 5:

$\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{b^1} = \sqrt[3 \cdot 5]{b^{1 \cdot 5}} = \sqrt[15]{b^5}$

Ответ: $\sqrt[15]{b^5}$

4) тридцатой степени

Нам нужно представить корень третьей степени в виде корня тридцатой степени. Исходный показатель $n=3$, желаемый — $n \cdot k = 30$. Найдем число $k$:

$3 \cdot k = 30$

$k = 30 / 3 = 10$

Умножим показатель корня на 10 и возведем подкоренное выражение $b$ в степень 10:

$\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{b^1} = \sqrt[3 \cdot 10]{b^{1 \cdot 10}} = \sqrt[30]{b^{10}}$

Ответ: $\sqrt[30]{b^{10}}$