Номер 9.16, страница 75 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.16. Упростите выражение:

1) $\sqrt[3]{54} - 3\sqrt[3]{16} + 5\sqrt[3]{128} + \sqrt[3]{2000};$

2) $\sqrt[4]{625a} + 3\sqrt[4]{16a} - 2\sqrt[4]{81a} + 4\sqrt[4]{1296a}.$

1) Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{54} - 3\sqrt[3]{16} + 5\sqrt[3]{128} + \sqrt[3]{2000}$, необходимо вынести множители из-под знака кубического корня в каждом слагаемом. Для этого разложим подкоренные выражения на множители таким образом, чтобы один из них был точным кубом.

Разложим каждое слагаемое:

• $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}$
• $3\sqrt[3]{16} = 3\sqrt[3]{8 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2^3 \cdot 2} = 3 \cdot 2\sqrt[3]{2} = 6\sqrt[3]{2}$
• $5\sqrt[3]{128} = 5\sqrt[3]{64 \cdot 2} = 5\sqrt[3]{4^3 \cdot 2} = 5 \cdot 4\sqrt[3]{2} = 20\sqrt[3]{2}$
• $\sqrt[3]{2000} = \sqrt[3]{1000 \cdot 2} = \sqrt[3]{10^3 \cdot 2} = 10\sqrt[3]{2}$

Теперь подставим упрощенные слагаемые обратно в исходное выражение:

$3\sqrt[3]{2} - 6\sqrt[3]{2} + 20\sqrt[3]{2} + 10\sqrt[3]{2}$

Все слагаемые содержат общий множитель $\sqrt[3]{2}$. Сложим их коэффициенты:

$(3 - 6 + 20 + 10)\sqrt[3]{2} = (-3 + 20 + 10)\sqrt[3]{2} = (17 + 10)\sqrt[3]{2} = 27\sqrt[3]{2}$

Ответ: $27\sqrt[3]{2}$

2) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{625a} + 3\sqrt[4]{16a} - 2\sqrt[4]{81a} + 4\sqrt[4]{1296a}$ вынесем множители из-под знака корня четвертой степени. Отметим, что выражение имеет смысл при $a \ge 0$.

Разложим каждое слагаемое, выделяя множители, являющиеся точной четвертой степенью:

• $\sqrt[4]{625a} = \sqrt[4]{5^4 \cdot a} = 5\sqrt[4]{a}$
• $3\sqrt[4]{16a} = 3\sqrt[4]{2^4 \cdot a} = 3 \cdot 2\sqrt[4]{a} = 6\sqrt[4]{a}$
• $2\sqrt[4]{81a} = 2\sqrt[4]{3^4 \cdot a} = 2 \cdot 3\sqrt[4]{a} = 6\sqrt[4]{a}$
• $4\sqrt[4]{1296a} = 4\sqrt[4]{6^4 \cdot a} = 4 \cdot 6\sqrt[4]{a} = 24\sqrt[4]{a}$ (поскольку $6^4 = 1296$)

Подставим полученные выражения в исходное:

$5\sqrt[4]{a} + 6\sqrt[4]{a} - 6\sqrt[4]{a} + 24\sqrt[4]{a}$

Сгруппируем слагаемые с общим множителем $\sqrt[4]{a}$:

$(5 + 6 - 6 + 24)\sqrt[4]{a} = (5 + 24)\sqrt[4]{a} = 29\sqrt[4]{a}$

Ответ: $29\sqrt[4]{a}$