Номер 9.15, страница 75 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.15. Замените выражение на тождественно равное ему:

1) $\sqrt[3]{625} - \sqrt[3]{320} - \sqrt[3]{135} + \sqrt[3]{40};$

2) $\sqrt[3]{56m} + \sqrt[3]{-189m} - \sqrt[3]{-81n} - 1,5\sqrt[3]{24n} + \sqrt[3]{448m}.$

1) $\sqrt[3]{625} - \sqrt[3]{320} - \sqrt[3]{135} + \sqrt[3]{40}$

Для упрощения данного выражения необходимо вынести множитель из-под знака кубического корня в каждом слагаемом. Для этого разложим подкоренные числа на множители так, чтобы один из множителей являлся точным кубом.

Разложим каждое подкоренное выражение:

• $\sqrt[3]{625} = \sqrt[3]{125 \cdot 5} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 5} = 5\sqrt[3]{5}$
• $\sqrt[3]{320} = \sqrt[3]{64 \cdot 5} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 5} = 4\sqrt[3]{5}$
• $\sqrt[3]{135} = \sqrt[3]{27 \cdot 5} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 5} = 3\sqrt[3]{5}$
• $\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 5} = 2\sqrt[3]{5}$

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$5\sqrt[3]{5} - 4\sqrt[3]{5} - 3\sqrt[3]{5} + 2\sqrt[3]{5}$

Все слагаемые имеют общий множитель $\sqrt[3]{5}$. Сгруппируем их и выполним действия с коэффициентами:

$(5 - 4 - 3 + 2)\sqrt[3]{5} = (1 - 3 + 2)\sqrt[3]{5} = (-2 + 2)\sqrt[3]{5} = 0 \cdot \sqrt[3]{5} = 0$

Ответ: $0$

2) $\sqrt[3]{56m} + \sqrt[3]{-189m} - \sqrt[3]{-81n} - 1,5\sqrt[3]{24n} + \sqrt[3]{448m}$

Упростим каждое слагаемое, вынося множители из-под знака кубического корня. Также воспользуемся свойством нечетного корня $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$.

Преобразуем каждое слагаемое:

• $\sqrt[3]{56m} = \sqrt[3]{8 \cdot 7m} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 7m} = 2\sqrt[3]{7m}$
• $\sqrt[3]{-189m} = \sqrt[3]{-27 \cdot 7m} = \sqrt[3]{(-3)^3 \cdot 7m} = -3\sqrt[3]{7m}$
• $-\sqrt[3]{-81n} = -(\sqrt[3]{-27 \cdot 3n}) = -(\sqrt[3]{(-3)^3 \cdot 3n}) = -(-3\sqrt[3]{3n}) = 3\sqrt[3]{3n}$
• $-1,5\sqrt[3]{24n} = -1,5\sqrt[3]{8 \cdot 3n} = -1,5\sqrt[3]{2^3 \cdot 3n} = -1,5 \cdot 2\sqrt[3]{3n} = -3\sqrt[3]{3n}$
• $\sqrt[3]{448m} = \sqrt[3]{64 \cdot 7m} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 7m} = 4\sqrt[3]{7m}$

Подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение:

$2\sqrt[3]{7m} - 3\sqrt[3]{7m} + 3\sqrt[3]{3n} - 3\sqrt[3]{3n} + 4\sqrt[3]{7m}$

Сгруппируем подобные слагаемые (с одинаковыми подкоренными выражениями) и приведем их:

$(2\sqrt[3]{7m} - 3\sqrt[3]{7m} + 4\sqrt[3]{7m}) + (3\sqrt[3]{3n} - 3\sqrt[3]{3n})$

Выполним действия с коэффициентами в каждой группе:

$(2 - 3 + 4)\sqrt[3]{7m} + (3 - 3)\sqrt[3]{3n} = 3\sqrt[3]{7m} + 0 \cdot \sqrt[3]{3n} = 3\sqrt[3]{7m}$

Ответ: $3\sqrt[3]{7m}$