Номер 9.11, страница 75 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.11. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[3]{16}$;

2) $\sqrt[4]{162}$;

3) $\sqrt[3]{250}$;

4) $\sqrt[6]{7290}$;

5) $\sqrt[3]{40a^5}$;

6) $\sqrt[3]{-a^7}$;

7) $\sqrt[3]{-54a^5b^9}$;

8) $\sqrt[3]{-108a^7b^{10}}$.

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня, представим подкоренное выражение в виде произведения, где один из множителей является полным кубом. Число 16 можно разложить на множители как $8 \cdot 2$. Поскольку $8 = 2^3$, мы можем вынести его из-под кубического корня.
$\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}$.
Ответ: $2\sqrt[3]{2}$.

2) Для вынесения множителя из-под знака корня четвертой степени, разложим подкоренное число 162 на множители. $162 = 81 \cdot 2$. Число 81 является четвертой степенью числа 3 ($3^4 = 81$).
$\sqrt[4]{162} = \sqrt[4]{81 \cdot 2} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 2} = \sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{2} = 3\sqrt[4]{2}$.
Ответ: $3\sqrt[4]{2}$.

3) Разложим число 250 на множители, выделив наибольший возможный куб. $250 = 125 \cdot 2$. Число 125 является кубом числа 5 ($5^3=125$).
$\sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{125 \cdot 2} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{5^3} \cdot \sqrt[3]{2} = 5\sqrt[3]{2}$.
Ответ: $5\sqrt[3]{2}$.

4) Необходимо найти корень шестой степени из 729. Разложим 729 на простые множители, чтобы проверить, не является ли оно полной шестой степенью. $729 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6$.
$\sqrt[6]{729} = \sqrt[6]{3^6} = 3$.
Ответ: $3$.

5) Разложим на множители числовой коэффициент и переменную степень. $40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$. Степень переменной $a^5$ представим как $a^3 \cdot a^2$.
$\sqrt[3]{40a^5} = \sqrt[3]{8 \cdot 5 \cdot a^3 \cdot a^2} = \sqrt[3]{(8a^3) \cdot (5a^2)} = \sqrt[3]{(2a)^3 \cdot 5a^2} = 2a\sqrt[3]{5a^2}$.
Ответ: $2a\sqrt[3]{5a^2}$.

6) Минус можно вынести из-под знака корня нечетной степени. Степень переменной $a^7$ представим в виде произведения $a^6 \cdot a$, где $a^6$ является полным кубом, так как $a^6 = (a^2)^3$.
$\sqrt[3]{-a^7} = -\sqrt[3]{a^7} = -\sqrt[3]{a^6 \cdot a} = -\sqrt[3]{(a^2)^3 \cdot a} = -a^2\sqrt[3]{a}$.
Ответ: $-a^2\sqrt[3]{a}$.

7) Выносим знак минус. Раскладываем число -54 как $-27 \cdot 2$, где -27 является кубом числа -3. Раскладываем степени переменных: $a^5 = a^3 \cdot a^2$ и $b^9 = (b^3)^3$.
$\sqrt[3]{-54a^5b^9} = \sqrt[3]{-27 \cdot 2 \cdot a^3 \cdot a^2 \cdot b^9} = \sqrt[3]{(-3)^3 \cdot a^3 \cdot (b^3)^3 \cdot 2a^2} = \sqrt[3]{(-3ab^3)^3 \cdot 2a^2} = -3ab^3\sqrt[3]{2a^2}$.
Ответ: $-3ab^3\sqrt[3]{2a^2}$.

8) Выносим знак минус. Раскладываем число -108 как $-27 \cdot 4$. Раскладываем степени переменных: $a^7 = a^6 \cdot a = (a^2)^3 \cdot a$ и $b^{10} = b^9 \cdot b = (b^3)^3 \cdot b$.
$\sqrt[3]{-108a^7b^{10}} = \sqrt[3]{-27 \cdot 4 \cdot a^6 \cdot a \cdot b^9 \cdot b} = \sqrt[3]{((-3)^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (b^3)^3) \cdot 4ab} = \sqrt[3]{(-3a^2b^3)^3 \cdot 4ab} = -3a^2b^3\sqrt[3]{4ab}$.
Ответ: $-3a^2b^3\sqrt[3]{4ab}$.