Номер 9.4, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.4. Упростите выражение:

1) $\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{5};$

2) $\frac{\sqrt[4]{80}}{\sqrt[4]{5}};$

3) $\sqrt[14]{(8 - y)^{14}};$

4) $\sqrt[6]{y^{12}};$

5) $\sqrt[5]{2\sqrt{17} + 10} \cdot \sqrt[5]{2\sqrt{17} - 10};$

6) $\sqrt[12]{n^{36}}.$

1)

Для упрощения этого выражения воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{25 \cdot 5} = \sqrt[3]{125}$.
Так как $5^3 = 125$, то $\sqrt[3]{125} = 5$.
Ответ: 5

2)

Применим свойство частного корней одинаковой степени: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt[4]{80}}{\sqrt[4]{5}} = \sqrt[4]{\frac{80}{5}} = \sqrt[4]{16}$.
Поскольку $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{16} = 2$.
Ответ: 2

3)

Воспользуемся свойством корня четной степени: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае показатель корня (14) и показатель степени подкоренного выражения (14) — четные числа.
$\sqrt[14]{(8 - y)^{14}} = |8 - y|$.
Выражение не может быть дальше упрощено без дополнительной информации о переменной $y$.
Ответ: $|8 - y|$

4)

Для упрощения представим корень в виде степени с рациональным показателем, используя формулу $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
$\sqrt[6]{y^{12}} = y^{\frac{12}{6}} = y^2$.
Также можно рассуждать иначе: $y^{12} = (y^2)^6$. Тогда $\sqrt[6]{y^{12}} = \sqrt[6]{(y^2)^6}$. Так как показатель корня 6 — четное число, то по свойству $\sqrt[2k]{a^{2k}}=|a|$ имеем $\sqrt[6]{(y^2)^6} = |y^2|$. Поскольку $y^2$ всегда неотрицательно ($y^2 \ge 0$), то $|y^2| = y^2$.
Ответ: $y^2$

5)

Сначала используем свойство произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[5]{2\sqrt{17}+10} \cdot \sqrt[5]{2\sqrt{17}-10} = \sqrt[5]{(2\sqrt{17}+10)(2\sqrt{17}-10)}$.
Теперь к выражению в скобках применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = 2\sqrt{17}$ и $b = 10$.
$\sqrt[5]{(2\sqrt{17})^2 - 10^2} = \sqrt[5]{4 \cdot 17 - 100} = \sqrt[5]{68 - 100} = \sqrt[5]{-32}$.
Так как $(-2)^5 = -32$, то $\sqrt[5]{-32} = -2$.
Ответ: -2

6)

Используем свойство $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$, позволяющее сокращать показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель.
$\sqrt[12]{n^{36}} = \sqrt[12/12]{n^{36/12}} = \sqrt[1]{n^3} = n^3$.
Однако, такое упрощение верно только для $n \ge 0$. В общем случае необходимо использовать свойство корня четной степени $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$.
$\sqrt[12]{n^{36}} = \sqrt[12]{(n^3)^{12}}$. Так как показатель корня 12 — четное число, то $\sqrt[12]{(n^3)^{12}} = |n^3|$.
Этот результат верен для любых действительных значений $n$. Например, если $n = -1$, то $\sqrt[12]{(-1)^{36}} = \sqrt[12]{1} = 1$, и $|(-1)^3| = |-1| = 1$.
Ответ: $|n^3|$