Номер 4, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4. Сформулируйте теорему о степени корня.

Теорема о возведении корня в степень формулируется следующим образом: чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту же степень подкоренное выражение, оставив показатель корня без изменения.

В виде формулы это свойство записывается так:

$$(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$$

Это равенство (тождество) справедливо при условии, что его левая и правая части имеют смысл. Условия существования выражений зависят от четности показателя корня $n$ и знака показателя степени $m$.

• Если показатель корня $n$ — четное число ($n = 2k, k \in \mathbb{N}$), то подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a \ge 0$.
• Если показатель корня $n$ — нечетное число ($n = 2k+1, k \in \mathbb{N}$), то $a$ может быть любым действительным числом.
• Если показатель степени $m$ — целое отрицательное число или ноль ($m \le 0$), то на подкоренное выражение накладывается дополнительное условие $a \ne 0$, так как возникает деление на ноль.

Доказательство

Докажем теорему для наиболее общего случая с арифметическим корнем, когда $a \ge 0$, а $n$ и $m$ — натуральные числа, $n \ge 2$.

По определению арифметического корня n-й степени, $\sqrt[n]{a}$ — это такое неотрицательное число, n-я степень которого равна $a$.

Обозначим левую часть равенства как $x = (\sqrt[n]{a})^m$. Чтобы доказать, что $x$ равен правой части $\sqrt[n]{a^m}$, нам нужно показать, что $x$ удовлетворяет определению арифметического корня n-й степени из $a^m$, то есть:

1. $x \ge 0$
2. $x^n = a^m$

Проверим эти два условия:

1. Так как $a \ge 0$, то по определению $\sqrt[n]{a} \ge 0$. При возведении неотрицательного числа в натуральную степень $m$ результат также будет неотрицательным. Следовательно, $x = (\sqrt[n]{a})^m \ge 0$. Первое условие выполнено.
2. Возведем $x$ в степень $n$:
   $x^n = ((\sqrt[n]{a})^m)^n$.
   Используя свойство степени «степень степени», $(b^p)^q = (b^q)^p$, поменяем порядок возведения в степень:
   $((\sqrt[n]{a})^m)^n = ((\sqrt[n]{a})^n)^m$.
   По основному свойству корня, $(\sqrt[n]{a})^n = a$.
   Следовательно, $x^n = (a)^m = a^m$. Второе условие выполнено.

Мы показали, что $x = (\sqrt[n]{a})^m$ является неотрицательным числом, n-я степень которого равна $a^m$. Это в точности соответствует определению арифметического корня $\sqrt[n]{a^m}$. Таким образом, $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$, что и требовалось доказать.

Пример

Вычислим выражение $(\sqrt[3]{-8})^2$.
Здесь показатель корня $n=3$ (нечетный), подкоренное выражение $a=-8$ (отрицательное), показатель степени $m=2$.
Способ 1: Сначала извлечем корень, потом возведем в степень.
$(\sqrt[3]{-8})^2 = (-2)^2 = 4$.
Способ 2: Используя теорему о степени корня.
$(\sqrt[3]{-8})^2 = \sqrt[3]{(-8)^2} = \sqrt[3]{64}$.
Поскольку $4^3 = 64$, то $\sqrt[3]{64} = 4$.
Результаты совпадают, что подтверждает верность теоремы.

Ответ: Теорема о степени корня гласит, что для возведения корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение, оставив показатель корня без изменения. Математически это выражается формулой $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$, при условии, что левая и правая части выражения имеют смысл.