Номер 9.3, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.3. Найдите:

1) $\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8};$

2) $\sqrt[3]{0.054} \cdot \sqrt[3]{4};$

3) $\frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{128}};$

4) $\frac{\sqrt[8]{2^{30} \cdot 7^{12}}}{\sqrt[8]{2^6 \cdot 7^4}};$

5) $\sqrt{6\sqrt{3} + 10} \cdot \sqrt{6\sqrt{3} - 10};$

6) $\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[3]{-9}.$

1) Для вычисления произведения корней одной и той же степени воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2 \cdot 8} = \sqrt[4]{16}$

Так как $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{16} = 2$.

Ответ: 2

2) Используем то же свойство, что и в предыдущем примере, для корней третьей степени:

$\sqrt[3]{0,054} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{0,054 \cdot 4} = \sqrt[3]{0,216}$

Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,216 = \frac{216}{1000}$.

$\sqrt[3]{0,216} = \sqrt[3]{\frac{216}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{216}}{\sqrt[3]{1000}}$

Поскольку $6^3 = 216$ и $10^3 = 1000$, получаем:

$\frac{6}{10} = 0,6$

Ответ: 0,6

3) Для вычисления частного корней одной и той же степени воспользуемся свойством $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{128}} = \sqrt[5]{\frac{4}{128}}$

Сократим дробь под корнем:

$\sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

4) Используем свойство частного корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt[8]{2^{30} \cdot 7^{12}}}{\sqrt[8]{2^6 \cdot 7^4}} = \sqrt[8]{\frac{2^{30} \cdot 7^{12}}{2^6 \cdot 7^4}}$

Упростим выражение под корнем, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\sqrt[8]{2^{30-6} \cdot 7^{12-4}} = \sqrt[8]{2^{24} \cdot 7^8}$

Теперь воспользуемся свойствами $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:

$\sqrt[8]{2^{24}} \cdot \sqrt[8]{7^8} = 2^{\frac{24}{8}} \cdot 7^{\frac{8}{8}} = 2^3 \cdot 7^1 = 8 \cdot 7 = 56$

Ответ: 56

5) Применим свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[3]{6\sqrt{3} + 10} \cdot \sqrt[3]{6\sqrt{3} - 10} = \sqrt[3]{(6\sqrt{3} + 10)(6\sqrt{3} - 10)}$

Выражение под корнем представляет собой формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = 6\sqrt{3}$ и $b = 10$.

$(6\sqrt{3})^2 - 10^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{3})^2 - 100 = 36 \cdot 3 - 100 = 108 - 100 = 8$

Таким образом, выражение упрощается до:

$\sqrt[3]{8} = 2$

Ответ: 2

6) Сгруппируем множители с одинаковыми показателями корня:

$\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[3]{-9} = (\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{27}) \cdot (\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{-9})$

Вычислим произведение первой группы, используя свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[4]{3 \cdot 27} = \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$

Вычислим произведение второй группы:

$\sqrt[3]{3 \cdot (-9)} = \sqrt[3]{-27} = -3$

Теперь перемножим полученные результаты:

$3 \cdot (-3) = -9$

Ответ: -9