Номер 9.24, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.24. При каких значениях x выполняется равенство:

1) $\sqrt[4]{x^2 - 4} = \sqrt[4]{x - 2} \cdot \sqrt[4]{x + 2};$

2) $\sqrt[8]{(x - 3)(7 - x)} = \sqrt[8]{x - 3} \cdot \sqrt[8]{7 - x};$

3) $\sqrt[3]{(x - 6)(x - 10)} = \sqrt[3]{x - 6} \cdot \sqrt[3]{x - 10}?$

1) Равенство $\sqrt[4]{x^2 - 4} = \sqrt[4]{x-2} \cdot \sqrt[4]{x+2}$ является частным случаем свойства корня $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
Поскольку степень корня $n=4$ является четным числом, данное свойство справедливо только при условии, что оба выражения под корнями в правой части уравнения неотрицательны.
Правая часть $\sqrt[4]{x-2} \cdot \sqrt[4]{x+2}$ определена в действительных числах, если одновременно выполняются следующие условия:
$\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases}$
Решая эту систему неравенств, получаем:
$\begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge -2 \end{cases}$
Пересечением решений этих двух неравенств является промежуток $x \ge 2$.
При $x \ge 2$ оба множителя $x-2$ и $x+2$ неотрицательны. Следовательно, их произведение $x^2 - 4$ также неотрицательно, и левая часть равенства $\sqrt[4]{x^2-4}$ определена. Таким образом, при $x \ge 2$ равенство выполняется.
Если $x \le -2$, то левая часть $\sqrt[4]{x^2-4}$ определена, так как $x^2-4 \ge 0$. Однако в правой части оба подкоренных выражения $x-2$ и $x+2$ отрицательны, и корни четной степени из них не определены в области действительных чисел.
Следовательно, равенство выполняется только при $x \ge 2$.
Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

2) Рассмотрим равенство $\sqrt[8]{(x-3)(7-x)} = \sqrt[8]{x-3} \cdot \sqrt[8]{7-x}$.
Степень корня $n=8$ также является четной. Равенство будет верным только в том случае, когда подкоренные выражения в правой части неотрицательны.
Составим и решим систему неравенств:
$\begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ 7 - x \ge 0 \end{cases}$
Решение системы:
$\begin{cases} x \ge 3 \\ x \le 7 \end{cases}$
Общим решением является отрезок $3 \le x \le 7$.
На этом отрезке оба выражения $x-3$ и $7-x$ неотрицательны. Их произведение $(x-3)(7-x)$ также неотрицательно. Это означает, что обе части равенства определены и равны друг другу для всех $x$ из данного отрезка.
Ответ: $x \in [3; 7]$.

3) Рассмотрим равенство $\sqrt[3]{(x-6)(x-10)} = \sqrt[3]{x-6} \cdot \sqrt[3]{x-10}$.
В данном случае степень корня $n=3$ является нечетным числом.
Свойство корня $\sqrt[2k+1]{a \cdot b} = \sqrt[2k+1]{a} \cdot \sqrt[2k+1]{b}$ является тождеством, справедливым для любых действительных чисел $a$ и $b$.
Корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения. Это значит, что выражения $\sqrt[3]{x-6}$, $\sqrt[3]{x-10}$ и $\sqrt[3]{(x-6)(x-10)}$ определены для всех $x \in \mathbb{R}$.
Поскольку данное равенство является тождеством и все его части определены при любых действительных значениях $x$, оно выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.