Номер 9.29, страница 77 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.29. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}};$

2) $\frac{\sqrt[6]{x} - 9}{\sqrt[12]{x} + 3};$

3) $\frac{\sqrt{m} + \sqrt[4]{m}}{m - \sqrt[4]{m^3}};$

4) $\frac{\sqrt[8]{ab^2} - \sqrt[8]{a^2b}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}};$

5) $\frac{a\sqrt[3]{b^2} - b\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a^2b^2}};$

6) $\frac{\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16}{x - 64};$

7) $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b}};$

8) $\frac{2 - \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}};$

9) $\frac{\sqrt[4]{a^3} - \sqrt[4]{a} + \sqrt{a} - 1}{a - \sqrt{a}}.$

1)

Рассмотрим числитель дроби $\sqrt{a} - \sqrt{b}$. Его можно представить как разность квадратов, учитывая, что $\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2$ и $\sqrt{b} = (\sqrt[4]{b})^2$.
Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$\sqrt{a} - \sqrt{b} = (\sqrt[4]{a})^2 - (\sqrt[4]{b})^2 = (\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})$.
Теперь подставим это выражение обратно в дробь:
$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} = \frac{(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})$ в числителе и знаменателе.
Получаем: $\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}$.

Ответ: $\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}$

2)

Числитель дроби $\sqrt[6]{x} - 9$ является разностью квадратов. Представим $\sqrt[6]{x}$ как $(\sqrt[12]{x})^2$ и $9$ как $3^2$.
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$\sqrt[6]{x} - 9 = (\sqrt[12]{x})^2 - 3^2 = (\sqrt[12]{x} - 3)(\sqrt[12]{x} + 3)$.
Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$\frac{\sqrt[6]{x} - 9}{\sqrt[12]{x} + 3} = \frac{(\sqrt[12]{x} - 3)(\sqrt[12]{x} + 3)}{\sqrt[12]{x} + 3}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt[12]{x} + 3)$.
В результате получаем: $\sqrt[12]{x} - 3$.

Ответ: $\sqrt[12]{x} - 3$

3)

Для удобства сделаем замену $x = \sqrt[4]{m}$. Тогда $\sqrt{m} = (\sqrt[4]{m})^2 = x^2$ и $m = x^4$, а $\sqrt[4]{m^3} = x^3$.
Перепишем дробь с новой переменной:
$\frac{\sqrt{m} + \sqrt[4]{m}}{m - \sqrt[4]{m^3}} = \frac{x^2 + x}{x^4 - x^3}$.
Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:
В числителе: $x^2 + x = x(x+1)$.
В знаменателе: $x^4 - x^3 = x^3(x-1)$.
Дробь принимает вид: $\frac{x(x+1)}{x^3(x-1)}$.
Сократим общий множитель $x$:
$\frac{x+1}{x^2(x-1)}$.
Теперь вернемся к исходной переменной $m$, подставив $x = \sqrt[4]{m}$:
$\frac{\sqrt[4]{m}+1}{(\sqrt[4]{m})^2(\sqrt[4]{m}-1)} = \frac{\sqrt[4]{m}+1}{\sqrt{m}(\sqrt[4]{m}-1)}$.

Ответ: $\frac{\sqrt[4]{m}+1}{\sqrt{m}(\sqrt[4]{m}-1)}$

4)

В числителе вынесем общий множитель $\sqrt[8]{ab}$:
$\sqrt[8]{ab^2} - \sqrt[8]{a^2b} = \sqrt[8]{ab \cdot b} - \sqrt[8]{ab \cdot a} = \sqrt[8]{ab}(\sqrt[8]{b} - \sqrt[8]{a}) = -\sqrt[8]{ab}(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})$.
Знаменатель $\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}$ представим как разность квадратов, где $\sqrt[4]{a} = (\sqrt[8]{a})^2$ и $\sqrt[4]{b} = (\sqrt[8]{b})^2$:
$\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b} = (\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})(\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b})$.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$\frac{-\sqrt[8]{ab}(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})}{(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})(\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b})}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})$.
Получаем: $\frac{-\sqrt[8]{ab}}{\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b}}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt[8]{ab}}{\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b}}$

5)

Разделим каждый член числителя на знаменатель:
$\frac{a\sqrt[3]{b^2} - b\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a^2b^2}} = \frac{a\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a^2b^2}} - \frac{b\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a^2b^2}}$.
Упростим каждую из получившихся дробей:
$\frac{a}{\sqrt[3]{a^2}} - \frac{b}{\sqrt[3]{b^2}}$.
Представим $a$ как $\sqrt[3]{a^3}$ и $b$ как $\sqrt[3]{b^3}$:
$\frac{\sqrt[3]{a^3}}{\sqrt[3]{a^2}} - \frac{\sqrt[3]{b^3}}{\sqrt[3]{b^2}} = \sqrt[3]{\frac{a^3}{a^2}} - \sqrt[3]{\frac{b^3}{b^2}} = \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}$.
Другой способ — вынести общий множитель в числителе:
$a\sqrt[3]{b^2} - b\sqrt[3]{a^2} = a^{1}b^{2/3} - b^{1}a^{2/3} = a^{3/3}b^{2/3} - b^{3/3}a^{2/3} = a^{2/3}b^{2/3}(a^{1/3} - b^{1/3}) = \sqrt[3]{a^2b^2}(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})$.
$\frac{\sqrt[3]{a^2b^2}(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})}{\sqrt[3]{a^2b^2}} = \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}$.

Ответ: $\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}$

6)

Знаменатель дроби $x - 64$ является разностью кубов. Представим $x$ как $(\sqrt[3]{x})^3$ и $64$ как $4^3$.
Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$x - 64 = (\sqrt[3]{x})^3 - 4^3 = (\sqrt[3]{x} - 4)((\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4^2) = (\sqrt[3]{x} - 4)(\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16)$.
Подставим это выражение в знаменатель дроби:
$\frac{\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16}{(\sqrt[3]{x} - 4)(\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16)}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16)$.
Получаем: $\frac{1}{\sqrt[3]{x} - 4}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{x} - 4}$

7)

Приведем все корни к общему показателю 6.
$\sqrt{a} = a^{1/2} = a^{3/6} = (\sqrt[6]{a})^3$.
$\sqrt{b} = b^{1/2} = b^{3/6} = (\sqrt[6]{b})^3$.
$\sqrt[3]{a} = a^{1/3} = a^{2/6} = (\sqrt[6]{a})^2$.
$\sqrt[3]{b} = b^{1/3} = b^{2/6} = (\sqrt[6]{b})^2$.
Сделаем замену: $x = \sqrt[6]{a}$ и $y = \sqrt[6]{b}$. Дробь примет вид:
$\frac{x^3 + y^3}{x^2 - xy + y^2}$.
Числитель — это сумма кубов, которую можно разложить по формуле $x^3+y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
$\frac{(x+y)(x^2 - xy + y^2)}{x^2 - xy + y^2}$.
Сокращаем общий множитель $(x^2 - xy + y^2)$.
Остается $x+y$.
Выполним обратную замену: $\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}$.

Ответ: $\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}$

8)

Разделим дробь на два слагаемых:
$\frac{2 - \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} = \frac{2}{\sqrt[3]{2}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} = \frac{2}{\sqrt[3]{2}} - 1$.
Упростим первое слагаемое. Представим $2$ в числителе как $(\sqrt[3]{2})^3$:
$\frac{(\sqrt[3]{2})^3}{\sqrt[3]{2}} - 1 = (\sqrt[3]{2})^{3-1} - 1 = (\sqrt[3]{2})^2 - 1 = \sqrt[3]{2^2} - 1 = \sqrt[3]{4} - 1$.

Ответ: $\sqrt[3]{4} - 1$

9)

Разложим на множители числитель и знаменатель.
В знаменателе вынесем общий множитель $\sqrt{a}$:
$a - \sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a}-1)$.
В числителе сгруппируем слагаемые: $(\sqrt[4]{a^3} + \sqrt{a}) - (\sqrt[4]{a} + 1)$.
Вынесем общие множители из каждой группы. Заметим, что $\sqrt{a} = \sqrt[4]{a^2}$:
$(\sqrt[4]{a^3} + \sqrt[4]{a^2}) - (\sqrt[4]{a} + 1) = \sqrt[4]{a^2}(\sqrt[4]{a} + 1) - 1(\sqrt[4]{a} + 1)$.
Теперь вынесем общий множитель $(\sqrt[4]{a} + 1)$:
$(\sqrt[4]{a^2} - 1)(\sqrt[4]{a} + 1) = (\sqrt{a} - 1)(\sqrt[4]{a} + 1)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{(\sqrt{a}-1)(\sqrt[4]{a}+1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}$.
Сократим общий множитель $(\sqrt{a}-1)$.
Получаем: $\frac{\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt{a}}$.

Ответ: $\frac{\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt{a}}$