Номер 9.33, страница 77 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.33. Упростите выражение:

1) $\sqrt[8]{(\sqrt{5} - 2)^4}$;

2) $\sqrt[10]{(\sqrt{3} - \sqrt{5})^2}$;

3) $\sqrt[12]{(\sqrt{11} - 3)^3}$;

4) $\sqrt[15]{(\sqrt{7} - 3)^3}$.

Для решения данных задач используется свойство корня: $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$, если множитель $k$ - нечетное число. Если же $k$ - четное число, то свойство принимает вид $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{|a^m|}$, так как корень четной степени извлекается из неотрицательного числа.

1) Упростим выражение $\sqrt[8]{(\sqrt{5}-2)^4}$.

Здесь показатель корня $n=8$ и показатель степени подкоренного выражения $m=4$. Мы можем сократить их на общий делитель $k=4$. Так как $k=4$ - четное число, мы должны использовать модуль.

$\sqrt[8]{(\sqrt{5}-2)^4} = \sqrt[2 \cdot 4]{(\sqrt{5}-2)^{1 \cdot 4}} = \sqrt[2]{|\sqrt{5}-2|^1} = \sqrt{|\sqrt{5}-2|}$.

Теперь определим знак выражения в модуле. Сравним $\sqrt{5}$ и $2$. Поскольку $5 > 4$, то $\sqrt{5} > \sqrt{4}=2$. Следовательно, разность $\sqrt{5}-2$ положительна.

Так как $\sqrt{5}-2 > 0$, то $|\sqrt{5}-2| = \sqrt{5}-2$.

В результате получаем: $\sqrt{\sqrt{5}-2}$.

Ответ: $\sqrt{\sqrt{5}-2}$.

2) Упростим выражение $\sqrt[10]{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2}$.

Здесь показатель корня $n=10$ и показатель степени $m=2$. Общий делитель $k=2$. Так как $k=2$ - четное число, применяем свойство с модулем.

$\sqrt[10]{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2} = \sqrt[5 \cdot 2]{(\sqrt{3}-\sqrt{5})^{1 \cdot 2}} = \sqrt[5]{|\sqrt{3}-\sqrt{5}|}$.

Определим знак выражения в модуле. Сравним $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$. Поскольку $3 < 5$, то $\sqrt{3} < \sqrt{5}$. Следовательно, разность $\sqrt{3}-\sqrt{5}$ отрицательна.

Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу: $|\sqrt{3}-\sqrt{5}| = -(\sqrt{3}-\sqrt{5}) = \sqrt{5}-\sqrt{3}$.

Подставляя это в наше выражение, получаем: $\sqrt[5]{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$.

Ответ: $\sqrt[5]{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$.

3) Упростим выражение $\sqrt[12]{(\sqrt{11}-3)^3}$.

Здесь показатель корня $n=12$ и показатель степени $m=3$. Общий делитель $k=3$. Так как $k=3$ - нечетное число, модуль использовать не нужно.

$\sqrt[12]{(\sqrt{11}-3)^3} = \sqrt[4 \cdot 3]{(\sqrt{11}-3)^{1 \cdot 3}} = \sqrt[4]{\sqrt{11}-3}$.

Для корректности проверим знак подкоренного выражения. Сравним $\sqrt{11}$ и $3$. Поскольку $11 > 9$, то $\sqrt{11} > \sqrt{9}=3$. Значит, разность $\sqrt{11}-3$ положительна, и корень четвертой степени из нее определен.

Ответ: $\sqrt[4]{\sqrt{11}-3}$.

4) Упростим выражение $\sqrt[15]{(\sqrt{7}-3)^3}$.

Здесь показатель корня $n=15$ и показатель степени $m=3$. Общий делитель $k=3$. Так как $k=3$ - нечетное число, упрощение проводится без использования модуля.

$\sqrt[15]{(\sqrt{7}-3)^3} = \sqrt[5 \cdot 3]{(\sqrt{7}-3)^{1 \cdot 3}} = \sqrt[5]{\sqrt{7}-3}$.

Определим знак подкоренного выражения. Сравним $\sqrt{7}$ и $3$. Поскольку $7 < 9$, то $\sqrt{7} < \sqrt{9}=3$. Следовательно, разность $\sqrt{7}-3$ отрицательна.

Так как мы извлекаем корень нечетной степени (пятой) из отрицательного числа, выражение определено и имеет смысл.

Ответ: $\sqrt[5]{\sqrt{7}-3}$.