Номер 9.39, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.39. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{-m^9}$;

2) $\sqrt[4]{a^8 b^{13}}$, если $a > 0$;

3) $\sqrt[6]{x^6 y^7}$, если $x \ne 0$;

4) $\sqrt[4]{32m^{18}n^{17}}$;

5) $\sqrt[4]{162a^4 b^8 c^{12}}$, если $a > 0, c < 0$;

6) $\sqrt[4]{a^{15}b^{15}}$;

7) $\sqrt[8]{-a^{25}b^{50}}$.

1) Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt[4]{-m^9}$, необходимо сначала определить область допустимых значений. Так как корень четной степени (4), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-m^9 \ge 0$. Это неравенство выполняется при $m \le 0$.
Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, степени которых кратны 4:
$\sqrt[4]{-m^9} = \sqrt[4]{m^8 \cdot (-m)}$
Теперь вынесем множитель $m^8$ из-под знака корня:
$\sqrt[4]{m^8 \cdot (-m)} = \sqrt[4]{(m^2)^4} \cdot \sqrt[4]{-m} = |m^2| \sqrt[4]{-m}$
Поскольку $m^2$ всегда неотрицательно, $|m^2| = m^2$.
Ответ: $m^2\sqrt[4]{-m}$

2) В выражении $\sqrt[4]{a^8b^{13}}$ при условии $a > 0$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^8b^{13} \ge 0$. Так как $a > 0$, то $a^8 > 0$. Следовательно, $b^{13} \ge 0$, что означает $b \ge 0$.
Разложим подкоренное выражение на множители со степенями, кратными 4:
$\sqrt[4]{a^8b^{13}} = \sqrt[4]{a^8 \cdot b^{12} \cdot b}$
Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt[4]{a^8 \cdot b^{12} \cdot b} = \sqrt[4]{(a^2)^4} \cdot \sqrt[4]{(b^3)^4} \cdot \sqrt[4]{b} = |a^2| \cdot |b^3| \cdot \sqrt[4]{b}$
Так как $a^2 \ge 0$, то $|a^2| = a^2$. Так как $b \ge 0$, то $b^3 \ge 0$, и $|b^3| = b^3$.
Ответ: $a^2b^3\sqrt[4]{b}$

3) В выражении $\sqrt[6]{x^6y^7}$ при условии $x \ne 0$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^6y^7 \ge 0$. Так как $x \ne 0$, то $x^6 = (x^3)^2 > 0$. Следовательно, $y^7 \ge 0$, что означает $y \ge 0$.
Разложим подкоренное выражение:
$\sqrt[6]{x^6y^7} = \sqrt[6]{x^6 \cdot y^6 \cdot y}$
Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt[6]{x^6 \cdot y^6 \cdot y} = \sqrt[6]{x^6} \cdot \sqrt[6]{y^6} \cdot \sqrt[6]{y} = |x| \cdot |y| \cdot \sqrt[6]{y}$
Так как $y \ge 0$, то $|y|=y$. Знак переменной $x$ неизвестен, поэтому модуль $|x|$ сохраняется.
Ответ: $|x|y\sqrt[6]{y}$

4) В выражении $\sqrt[4]{32m^{18}n^{17}}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $32m^{18}n^{17} \ge 0$. Множители $32$ и $m^{18}=(m^9)^2$ неотрицательны, следовательно, должно выполняться $n^{17} \ge 0$, что означает $n \ge 0$.
Разложим подкоренное выражение на множители, выделив степени, кратные 4:
$\sqrt[4]{32m^{18}n^{17}} = \sqrt[4]{16 \cdot 2 \cdot m^{16} \cdot m^2 \cdot n^{16} \cdot n} = \sqrt[4]{(16 \cdot m^{16} \cdot n^{16}) \cdot (2m^2n)}$
Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{m^{16}} \cdot \sqrt[4]{n^{16}} \cdot \sqrt[4]{2m^2n} = 2 \cdot \sqrt[4]{(m^4)^4} \cdot \sqrt[4]{(n^4)^4} \cdot \sqrt[4]{2m^2n} = 2|m^4||n^4|\sqrt[4]{2m^2n}$
Поскольку $m^4$ и $n^4$ всегда неотрицательны, $|m^4|=m^4$ и $|n^4|=n^4$.
Ответ: $2m^4n^4\sqrt[4]{2m^2n}$

5) В выражении $\sqrt[4]{162a^4b^8c^{12}}$ при $a > 0, c < 0$ подкоренное выражение $162a^4b^8c^{12} = 162 \cdot a^4 \cdot (b^2)^4 \cdot (c^3)^4$ всегда неотрицательно.
Разложим число 162 на множители: $162 = 81 \cdot 2 = 3^4 \cdot 2$.
$\sqrt[4]{162a^4b^8c^{12}} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 2 \cdot a^4 \cdot b^8 \cdot c^{12}}$
Вынесем множители, степени которых кратны 4:
$\sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{b^8} \cdot \sqrt[4]{c^{12}} \cdot \sqrt[4]{2} = |3| \cdot |a| \cdot |b^2| \cdot |c^3| \cdot \sqrt[4]{2}$
Упростим модули с учетом заданных условий:
$|3| = 3$
$|a| = a$, так как $a > 0$.
$|b^2| = b^2$, так как $b^2 \ge 0$.
$|c^3| = -c^3$, так как $c < 0$, следовательно $c^3 < 0$.
Собираем результат: $3 \cdot a \cdot b^2 \cdot (-c^3) \cdot \sqrt[4]{2}$.
Ответ: $-3ab^2c^3\sqrt[4]{2}$

6) В выражении $\sqrt[4]{a^{15}b^{15}}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^{15}b^{15} = (ab)^{15} \ge 0$. Это верно, когда $ab \ge 0$.
Представим подкоренное выражение следующим образом:
$\sqrt[4]{a^{15}b^{15}} = \sqrt[4]{(ab)^{15}} = \sqrt[4]{(ab)^{12} \cdot (ab)^3}$
Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt[4]{((ab)^3)^4} \cdot \sqrt[4]{(ab)^3} = |(ab)^3|\sqrt[4]{(ab)^3}$
Так как $ab \ge 0$, то $(ab)^3 \ge 0$, и значит $|(ab)^3| = (ab)^3$.
Ответ: $(ab)^3\sqrt[4]{(ab)^3}$ или $a^3b^3\sqrt[4]{a^3b^3}$

7) В выражении $\sqrt[8]{-a^{25}b^{50}}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-a^{25}b^{50} \ge 0$. Так как $b^{50}=(b^{25})^2 \ge 0$, то должно выполняться $-a^{25} \ge 0$, что равносильно $a^{25} \le 0$, а это означает $a \le 0$.
Разложим подкоренное выражение на множители:
$\sqrt[8]{-a^{25}b^{50}} = \sqrt[8]{(-a) \cdot a^{24} \cdot b^{48} \cdot b^2} = \sqrt[8]{(a^{24}b^{48}) \cdot (-ab^2)}$
Вынесем множители, степени которых кратны 8:
$\sqrt[8]{a^{24}} \cdot \sqrt[8]{b^{48}} \cdot \sqrt[8]{-ab^2} = \sqrt[8]{(a^3)^8} \cdot \sqrt[8]{(b^6)^8} \cdot \sqrt[8]{-ab^2} = |a^3| \cdot |b^6| \cdot \sqrt[8]{-ab^2}$
Упростим модули:
$|a^3| = -a^3$, так как $a \le 0$, следовательно $a^3 \le 0$.
$|b^6| = b^6$, так как $b^6 \ge 0$.
Собираем результат: $(-a^3) \cdot b^6 \cdot \sqrt[8]{-ab^2}$.
Ответ: $-a^3b^6\sqrt[8]{-ab^2}$