Страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.34. Постройте график функции:

1) $y = 2x + \sqrt[6]{x^6}$;

2) $y = \sqrt[8]{(x-2)^8}$;

3) $y = \sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{x^3}$;

4) $y = \sqrt[4]{x^2} \cdot \sqrt[4]{x^2}$;

5) $y = \frac{x^3}{\sqrt[6]{x^6}} + 2$;

6) $y = \sqrt[6]{x^3} \cdot \sqrt[6]{x^9}$.

1)

Дана функция $y = 2x + \sqrt[6]{x^6}$.

Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), так как подкоренное выражение $x^6$ всегда неотрицательно.

Упростим выражение $\sqrt[6]{x^6}$. По свойству корня четной степени, $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае $n=3$, поэтому $\sqrt[6]{x^6} = |x|$.

Таким образом, функция принимает вид: $y = 2x + |x|$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = 2x + x = 3x$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = 2x - x = x$.

Следовательно, искомый график состоит из двух лучей, выходящих из начала координат:

• луча $y = 3x$ для $x \ge 0$;
• луча $y = x$ для $x < 0$.

Для построения первого луча возьмем точки $(0, 0)$ и $(1, 3)$. Для построения второго луча возьмем точки $(0, 0)$ и $(-2, -2)$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, выходящих из начала координат: луча $y=x$ при $x<0$ и луча $y=3x$ при $x \ge 0$.

2)

Дана функция $y = \sqrt[8]{(x-2)^8}$.

Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), так как подкоренное выражение $(x-2)^8$ всегда неотрицательно.

По свойству корня четной степени, $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае показатель степени и корня равен 8 (четное число), поэтому $\sqrt[8]{(x-2)^8} = |x-2|$.

Таким образом, функция принимает вид: $y = |x-2|$.

График этой функции получается из графика функции $y = |x|$ сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс. График представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(2, 0)$.

Раскроем модуль:

1. Если $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$, то $y = x-2$.

2. Если $x-2 < 0$, то есть $x < 2$, то $y = -(x-2) = -x+2$.

График состоит из двух лучей, выходящих из точки $(2, 0)$.

Ответ: График функции является графиком функции $y = |x|$, сдвинутым на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс. Он состоит из двух лучей, выходящих из точки $(2, 0)$: луча $y = x-2$ при $x \ge 2$ и луча $y = -x+2$ при $x < 2$.

3)

Дана функция $y = \sqrt[4]{x} \cdot \sqrt[4]{x^3}$.

Найдем область определения функции. Для существования корня четной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным.$\sqrt[4]{x} \implies x \ge 0$.$\sqrt[4]{x^3} \implies x^3 \ge 0 \implies x \ge 0$.Следовательно, область определения функции: $x \ge 0$.

Упростим выражение, используя свойство корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$y = \sqrt[4]{x \cdot x^3} = \sqrt[4]{x^4}$.

Поскольку из области определения мы знаем, что $x \ge 0$, то $\sqrt[4]{x^4} = x$.

Итак, $y=x$ при $x \ge 0$.

Графиком данной функции является луч, выходящий из начала координат, который является биссектрисой первого координатного угла.

Ответ: Графиком функции является луч $y=x$ при $x \ge 0$.

4)

Дана функция $y = \sqrt[4]{x^2} \cdot \sqrt[4]{x^2}$.

Найдем область определения функции. Выражение $x^2$ неотрицательно при любом действительном значении $x$. Таким образом, область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Упростим выражение:

$y = \sqrt[4]{x^2 \cdot x^2} = \sqrt[4]{x^4}$.

Поскольку функция определена для всех $x$, мы должны использовать свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$.

Следовательно, $\sqrt[4]{x^4} = |x|$.

Итак, $y=|x|$.

График этой функции состоит из двух лучей, выходящих из начала координат:

• $y = x$ при $x \ge 0$;
• $y = -x$ при $x < 0$.

Ответ: Графиком функции является график $y = |x|$, состоящий из двух лучей, выходящих из начала координат и являющихся биссектрисами I и II координатных углов.

5)

Дана функция $y = \frac{x^3}{\sqrt[6]{x^6}} + 2$.

Найдем область определения. Знаменатель не может быть равен нулю. $\sqrt[6]{x^6}=|x|$. Значит, $|x| \neq 0$, что эквивалентно $x \neq 0$.

Упростим выражение функции: $y = \frac{x^3}{|x|} + 2$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = \frac{x^3}{x} + 2 = x^2 + 2$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = \frac{x^3}{-x} + 2 = -x^2 + 2$.

График функции состоит из двух частей:

• Для $x > 0$ — это часть параболы $y = x^2+2$. Это парабола $y=x^2$, смещенная на 2 единицы вверх. Мы берем ее правую ветвь.
• Для $x < 0$ — это часть параболы $y = -x^2+2$. Это парабола $y=-x^2$, смещенная на 2 единицы вверх. Мы берем ее левую ветвь.

Так как $x \neq 0$, точка с абсциссой $x=0$ не принадлежит графику. Предельное значение функции при $x \to 0$ равно 2, поэтому точка $(0, 2)$ является "выколотой".

Ответ: График функции состоит из двух частей: для $x > 0$ это правая ветвь параболы $y = x^2+2$, а для $x < 0$ это левая ветвь параболы $y = -x^2+2$. Точка $(0, 2)$ на графике выколота.

6)

Дана функция $y = \sqrt[6]{x^3} \cdot \sqrt[6]{x^9}$.

Найдем область определения. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны:

$x^3 \ge 0 \implies x \ge 0$.

$x^9 \ge 0 \implies x \ge 0$.

Следовательно, область определения: $x \ge 0$.

Упростим выражение, используя свойство произведения корней:

$y = \sqrt[6]{x^3 \cdot x^9} = \sqrt[6]{x^{12}}$.

Можно представить $x^{12}$ как $(x^2)^6$:

$y = \sqrt[6]{(x^2)^6}$.

Так как $x^2$ всегда неотрицательно, $\sqrt[6]{(x^2)^6} = x^2$.

Учитывая область определения ($x \ge 0$), мы получаем функцию $y=x^2$ для $x \ge 0$.

Графиком данной функции является правая ветвь параболы $y=x^2$, начинающаяся в точке $(0, 0)$.

Ответ: Графиком функции является часть параболы $y=x^2$ при $x \ge 0$.

9.35. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[4]{x^4} - x$, если $x \le 0$;

2) $y = \sqrt[8]{x^8} - 2x$;

3) $y = \sqrt[4]{-x} \cdot \sqrt[4]{-x^3}$;

4) $y = \frac{\sqrt[6]{x^6}}{x}$.

1) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[4]{x^4} - x$ при условии $x \le 0$.

Преобразуем выражение, используя свойство корня четной степени $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Для данной функции это означает, что $\sqrt[4]{x^4} = |x|$.

Таким образом, уравнение функции принимает вид: $y = |x| - x$.

По условию задачи, мы рассматриваем функцию только для $x \le 0$. По определению модуля, если $x$ является неположительным числом ($x \le 0$), то $|x| = -x$.

Подставим это в уравнение функции:

$y = -x - x = -2x$.

Следовательно, необходимо построить график линейной функции $y = -2x$ на промежутке $x \in (-\infty, 0]$.

Графиком является луч, выходящий из начала координат (точка $(0, 0)$, так как при $x=0, y=-2 \cdot 0 = 0$) и проходящий через второй координатный квадрант. Для построения можно взять контрольную точку, например, при $x=-1, y=-2(-1)=2$. Таким образом, луч проходит через точку $(-1, 2)$.

Ответ: Графиком функции является луч $y = -2x$, начинающийся в точке $(0, 0)$ и расположенный во второй координатной четверти.

2) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[8]{x^8} - 2x$.

Используем свойство корня четной степени $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае $\sqrt[8]{x^8} = |x|$.

Функция принимает вид: $y = |x| - 2x$.

Для того чтобы построить график, раскроем модуль, рассмотрев два случая:

a) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:

$y = x - 2x = -x$.

На промежутке $[0, +\infty)$ график функции совпадает с лучом $y = -x$, который является биссектрисой четвертого координатного угла и выходит из начала координат.

б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:

$y = -x - 2x = -3x$.

На промежутке $(-\infty, 0)$ график функции совпадает с лучом $y = -3x$, который расположен во второй координатной четверти и также выходит из начала координат.

Итоговый график состоит из двух лучей, исходящих из точки $(0, 0)$: луча $y = -3x$ для $x < 0$ и луча $y = -x$ для $x \ge 0$.

Ответ: График функции представляет собой совокупность двух лучей, выходящих из начала координат: $y = -3x$ при $x < 0$ и $y = -x$ при $x \ge 0$.

3) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[4]{-x} \cdot \sqrt[4]{-x^3}$.

Сначала найдем область определения функции. Выражения под корнями четной степени должны быть неотрицательными:

$-x \ge 0 \implies x \le 0$

$-x^3 \ge 0 \implies x^3 \le 0 \implies x \le 0$

Область определения функции: $x \in (-\infty, 0]$.

На этой области определения мы можем использовать свойство произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$y = \sqrt[4]{(-x) \cdot (-x^3)} = \sqrt[4]{x^4}$.

Используя свойство $\sqrt[4]{a^4} = |a|$, получаем:

$y = |x|$.

Так как область определения функции $x \le 0$, то по определению модуля $|x| = -x$.

Таким образом, исходная функция эквивалентна функции $y = -x$ при $x \le 0$.

Графиком этой функции является луч, выходящий из начала координат $(0, 0)$ и являющийся биссектрисой второй координатной четверти.

Ответ: Графиком функции является луч $y = -x$ с началом в точке $(0, 0)$, расположенный во второй координатной четверти.

4) Рассмотрим функцию $y = \frac{\sqrt[6]{x^6}}{x}$.

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Выражение под корнем $x^6$ всегда неотрицательно. Таким образом, область определения: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Упростим числитель, используя свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$:

$\sqrt[6]{x^6} = |x|$.

Функция принимает вид: $y = \frac{|x|}{x}$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

a) Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:

$y = \frac{x}{x} = 1$.

Это горизонтальный луч $y = 1$, расположенный в первой координатной четверти. Точка $(0, 1)$ не принадлежит графику, так как $x \neq 0$.

б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:

$y = \frac{-x}{x} = -1$.

Это горизонтальный луч $y = -1$, расположенный в третьей координатной четверти. Точка $(0, -1)$ не принадлежит графику.

График состоит из двух открытых лучей: $y=1$ для $x > 0$ и $y=-1$ для $x < 0$. В точке $x=0$ функция не определена (разрыв).

Ответ: График функции состоит из двух частей: луча $y=1$ при $x > 0$ (с выколотой начальной точкой $(0,1)$) и луча $y=-1$ при $x < 0$ (с выколотой начальной точкой $(0,-1)$).

9.36. Решите уравнение:

1) $\sqrt[6]{x^6} = x-4;$

2) $\sqrt[10]{x^{10}} = 6-x;$

3) $2\sqrt[4]{x^4} = x+3.$

1)

Исходное уравнение: $\sqrt[6]{x^6} = x - 4$.

Поскольку корень четной степени (в данном случае 6-й) из выражения в той же степени равен модулю этого выражения, мы можем переписать уравнение, используя тождество $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$|x| = x - 4$.

Левая часть уравнения, $|x|$, по определению модуля, всегда неотрицательна ($|x| \ge 0$). Следовательно, и правая часть уравнения должна быть неотрицательной:

$x - 4 \ge 0$, откуда следует, что $x \ge 4$.

Если $x \ge 4$, то $x$ является положительным числом, и для таких $x$ модуль $|x|$ равен самому числу $x$.

Подставим $|x| = x$ в уравнение:

$x = x - 4$

Вычитая $x$ из обеих частей уравнения, получаем:

$0 = -4$

Полученное равенство является ложным. Это означает, что не существует значений $x$, которые удовлетворяли бы исходному уравнению.

Ответ: нет корней.

2)

Исходное уравнение: $\sqrt[10]{x^{10}} = 6 - x$.

Используя свойство корня четной степени $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$, преобразуем левую часть уравнения:

$|x| = 6 - x$.

Для решения этого уравнения необходимо рассмотреть два случая, основанных на определении модуля числа.

Случай 1: $x \ge 0$.

В этом случае $|x| = x$, и уравнение принимает вид:

$x = 6 - x$

$2x = 6$

$x = 3$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию этого случая ($x \ge 0$). Так как $3 \ge 0$, корень $x = 3$ является решением.

Случай 2: $x < 0$.

В этом случае $|x| = -x$, и уравнение принимает вид:

$-x = 6 - x$

$0 = 6$

Это равенство ложно, следовательно, в данном случае решений нет.

Единственным решением уравнения является $x = 3$. Проверим его, подставив в исходное уравнение:

$\sqrt[10]{3^{10}} = 6 - 3$

$3 = 3$

Равенство верное.

Ответ: 3.

3)

Исходное уравнение: $2\sqrt[4]{x^4} = x + 3$.

Корень четвертой (четной) степени из $x^4$ равен модулю $x$: $\sqrt[4]{x^4} = |x|$.

Подставив это в уравнение, получим:

$2|x| = x + 3$.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.

Случай 1: $x \ge 0$.

При этом условии $|x| = x$. Уравнение становится:

$2x = x + 3$

$2x - x = 3$

$x = 3$

Поскольку $3 \ge 0$, это значение является корнем уравнения.

Случай 2: $x < 0$.

При этом условии $|x| = -x$. Уравнение становится:

$2(-x) = x + 3$

$-2x = x + 3$

$-3x = 3$

$x = -1$

Поскольку $-1 < 0$, это значение также является корнем уравнения.

Таким образом, уравнение имеет два корня: $x=3$ и $x=-1$.

Ответ: -1; 3.

9.37. Решите уравнение:

1) $\sqrt[8]{x^8} = x+8;$

2) $\sqrt[12]{x^{12}} = 6x - 10.$

1) Дано уравнение $\sqrt[8]{x^8} = x + 8$.

По свойству корня четной степени, $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Так как показатель корня 8 является четным числом, левую часть уравнения можно преобразовать:

$\sqrt[8]{x^8} = |x|$.

Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению с модулем:

$|x| = x + 8$.

Для решения этого уравнения рассмотрим два случая, основанных на определении модуля.

Случай 1: $x \ge 0$.

При $x \ge 0$ модуль раскрывается со знаком плюс: $|x| = x$. Подставляем в уравнение:

$x = x + 8$

$0 = 8$

Это равенство является ложным, следовательно, в случае $x \ge 0$ уравнение решений не имеет.

Случай 2: $x < 0$.

При $x < 0$ модуль раскрывается со знаком минус: $|x| = -x$. Подставляем в уравнение:

$-x = x + 8$

Перенесем $x$ в левую часть:

$-2x = 8$

$x = -4$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = -4$ условию $x < 0$. Условие $-4 < 0$ выполняется.

Подставим найденное значение в исходное уравнение для окончательной проверки:

$\sqrt[8]{(-4)^8} = -4 + 8$

$\sqrt[8]{65536} = 4$

$4 = 4$

Равенство верное, следовательно, $x = -4$ является решением уравнения.

Ответ: -4

2) Дано уравнение $\sqrt[12]{x^{12}} = 6x - 10$.

По свойству корня четной степени, $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. Так как показатель корня 12 является четным числом, левую часть уравнения можно преобразовать:

$\sqrt[12]{x^{12}} = |x|$.

Уравнение принимает вид:

$|x| = 6x - 10$.

Поскольку значение модуля всегда неотрицательно ($|x| \ge 0$), правая часть уравнения также должна быть неотрицательной. Это накладывает ограничение на возможные значения $x$ (область допустимых значений):

$6x - 10 \ge 0$

$6x \ge 10$

$x \ge \frac{10}{6}$

$x \ge \frac{5}{3}$

Любой корень уравнения должен удовлетворять этому условию. Теперь решим уравнение, раскрыв модуль.

Случай 1: $x \ge 0$.

При $x \ge 0$ имеем $|x| = x$. Уравнение становится:

$x = 6x - 10$

$5x = 10$

$x = 2$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = 2$ условию $x \ge 5/3$. Так как $2 = 6/3$, а $6/3 \ge 5/3$, условие выполняется. Значит, $x=2$ является решением.

Случай 2: $x < 0$.

При $x < 0$ имеем $|x| = -x$. Уравнение становится:

$-x = 6x - 10$

$7x = 10$

$x = \frac{10}{7}$

Найденное значение $x = \frac{10}{7}$ не удовлетворяет условию данного случая ($x < 0$), так как $\frac{10}{7} > 0$. Следовательно, это посторонний корень. (Также он не удовлетворяет ОДЗ $x \ge 5/3$, поскольку $\frac{10}{7} = \frac{30}{21}$, а $\frac{5}{3} = \frac{35}{21}$).

Таким образом, уравнение имеет единственный корень $x = 2$. Проведем проверку:

$\sqrt[12]{2^{12}} = 6(2) - 10$

$|2| = 12 - 10$

$2 = 2$

Равенство верное.

Ответ: 2

9.38. При каких значениях $a$ и $b$ верно равенство:

1) $\sqrt[4]{a^5 b^5} = ab\sqrt[4]{ab};$

2) $\sqrt[4]{a^4 b} = a\sqrt[4]{b};$

3) $\sqrt[4]{a^4 b} = -a\sqrt[4]{b}?$

1) $\sqrt[4]{a^5b^5} = ab\sqrt[4]{ab}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным: $a^5b^5 \ge 0$. Это неравенство эквивалентно $(ab)^5 \ge 0$, что, в свою очередь, равносильно $ab \ge 0$. Это означает, что переменные $a$ и $b$ должны быть одного знака, либо хотя бы одна из них равна нулю.
Теперь преобразуем левую часть равенства. Используем свойство вынесения множителя из-под знака корня: $\sqrt[n]{x \cdot y} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$ (для неотрицательных $x, y$) и свойство корня четной степени $\sqrt[2k]{z^{2k}}=|z|$.
$\sqrt[4]{a^5b^5} = \sqrt[4]{(a^4b^4)(ab)} = \sqrt[4]{(ab)^4}\sqrt[4]{ab} = |ab|\sqrt[4]{ab}$.
Подставим это выражение в исходное равенство:
$|ab|\sqrt[4]{ab} = ab\sqrt[4]{ab}$.
Это равенство будет верным в двух случаях:
1. Если множитель $\sqrt[4]{ab}$ равен нулю, то есть $ab=0$. В этом случае равенство принимает вид $0=0$, что является истиной. Таким образом, все пары $(a, b)$, где $a=0$ или $b=0$, являются решением.
2. Если $\sqrt[4]{ab} > 0$, то есть $ab > 0$, мы можем разделить обе части равенства на $\sqrt[4]{ab}$ и получить: $|ab| = ab$.
По определению модуля, это равенство верно тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неотрицательно: $ab \ge 0$. Так как мы рассматриваем случай $ab > 0$, это условие выполняется.
Объединяя оба случая ($ab=0$ и $ab>0$), мы приходим к выводу, что исходное равенство верно при условии $ab \ge 0$.
Ответ: $a \ge 0$ и $b \ge 0$, или $a \le 0$ и $b \le 0$.

2) $\sqrt[4]{a^4b} = a\sqrt[4]{b}$

ОДЗ: подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Из $\sqrt[4]{a^4b}$ следует $a^4b \ge 0$. Поскольку $a^4 \ge 0$ для любого действительного $a$, это неравенство сводится к $b \ge 0$. Из $\sqrt[4]{b}$ на правой стороне также следует $b \ge 0$. Итак, ОДЗ: $b \ge 0$.
Преобразуем левую часть равенства, используя свойство $\sqrt[4]{x^4}=|x|$:
$\sqrt[4]{a^4b} = \sqrt[4]{a^4}\sqrt[4]{b} = |a|\sqrt[4]{b}$.
Теперь исходное равенство можно переписать в виде:
$|a|\sqrt[4]{b} = a\sqrt[4]{b}$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $b=0$, то $\sqrt[4]{b}=0$. Равенство становится $|a| \cdot 0 = a \cdot 0$, или $0=0$. Это верно для любого значения $a$.
2. Если $b > 0$, то $\sqrt[4]{b} \ne 0$. Мы можем разделить обе части равенства на $\sqrt[4]{b}$:
$|a| = a$.
Это равенство по определению модуля верно тогда и только тогда, когда $a \ge 0$.
Объединяя результаты: равенство верно, если ($b=0$ и $a$ - любое) или ($b>0$ и $a \ge 0$). Эти два условия можно объединить в одно: $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
Ответ: $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

3) $\sqrt[4]{a^4b} = -a\sqrt[4]{b}$

ОДЗ такое же, как и в предыдущем пункте: $b \ge 0$.
Преобразование левой части также аналогично:
$\sqrt[4]{a^4b} = \sqrt[4]{a^4}\sqrt[4]{b} = |a|\sqrt[4]{b}$.
Подставим это в исходное равенство:
$|a|\sqrt[4]{b} = -a\sqrt[4]{b}$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $b=0$, то $\sqrt[4]{b}=0$. Равенство становится $|a| \cdot 0 = -a \cdot 0$, или $0=0$. Это верно для любого значения $a$.
2. Если $b > 0$, то $\sqrt[4]{b} \ne 0$. Мы можем разделить обе части равенства на $\sqrt[4]{b}$:
$|a| = -a$.
По определению модуля, это равенство верно тогда и только тогда, когда $a \le 0$.
Объединяя результаты: равенство верно, если ($b=0$ и $a$ - любое) или ($b>0$ и $a \le 0$). Эти два условия можно объединить в одно: $a \le 0$ и $b \ge 0$.
Ответ: $a \le 0$ и $b \ge 0$.

9.39. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{-m^9}$;

2) $\sqrt[4]{a^8 b^{13}}$, если $a > 0$;

3) $\sqrt[6]{x^6 y^7}$, если $x \ne 0$;

4) $\sqrt[4]{32m^{18}n^{17}}$;

5) $\sqrt[4]{162a^4 b^8 c^{12}}$, если $a > 0, c < 0$;

6) $\sqrt[4]{a^{15}b^{15}}$;

7) $\sqrt[8]{-a^{25}b^{50}}$.

1) Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt[4]{-m^9}$, необходимо сначала определить область допустимых значений. Так как корень четной степени (4), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-m^9 \ge 0$. Это неравенство выполняется при $m \le 0$.
Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, степени которых кратны 4:
$\sqrt[4]{-m^9} = \sqrt[4]{m^8 \cdot (-m)}$
Теперь вынесем множитель $m^8$ из-под знака корня:
$\sqrt[4]{m^8 \cdot (-m)} = \sqrt[4]{(m^2)^4} \cdot \sqrt[4]{-m} = |m^2| \sqrt[4]{-m}$
Поскольку $m^2$ всегда неотрицательно, $|m^2| = m^2$.
Ответ: $m^2\sqrt[4]{-m}$

2) В выражении $\sqrt[4]{a^8b^{13}}$ при условии $a > 0$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^8b^{13} \ge 0$. Так как $a > 0$, то $a^8 > 0$. Следовательно, $b^{13} \ge 0$, что означает $b \ge 0$.
Разложим подкоренное выражение на множители со степенями, кратными 4:
$\sqrt[4]{a^8b^{13}} = \sqrt[4]{a^8 \cdot b^{12} \cdot b}$
Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt[4]{a^8 \cdot b^{12} \cdot b} = \sqrt[4]{(a^2)^4} \cdot \sqrt[4]{(b^3)^4} \cdot \sqrt[4]{b} = |a^2| \cdot |b^3| \cdot \sqrt[4]{b}$
Так как $a^2 \ge 0$, то $|a^2| = a^2$. Так как $b \ge 0$, то $b^3 \ge 0$, и $|b^3| = b^3$.
Ответ: $a^2b^3\sqrt[4]{b}$

3) В выражении $\sqrt[6]{x^6y^7}$ при условии $x \ne 0$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^6y^7 \ge 0$. Так как $x \ne 0$, то $x^6 = (x^3)^2 > 0$. Следовательно, $y^7 \ge 0$, что означает $y \ge 0$.
Разложим подкоренное выражение:
$\sqrt[6]{x^6y^7} = \sqrt[6]{x^6 \cdot y^6 \cdot y}$
Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt[6]{x^6 \cdot y^6 \cdot y} = \sqrt[6]{x^6} \cdot \sqrt[6]{y^6} \cdot \sqrt[6]{y} = |x| \cdot |y| \cdot \sqrt[6]{y}$
Так как $y \ge 0$, то $|y|=y$. Знак переменной $x$ неизвестен, поэтому модуль $|x|$ сохраняется.
Ответ: $|x|y\sqrt[6]{y}$

4) В выражении $\sqrt[4]{32m^{18}n^{17}}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $32m^{18}n^{17} \ge 0$. Множители $32$ и $m^{18}=(m^9)^2$ неотрицательны, следовательно, должно выполняться $n^{17} \ge 0$, что означает $n \ge 0$.
Разложим подкоренное выражение на множители, выделив степени, кратные 4:
$\sqrt[4]{32m^{18}n^{17}} = \sqrt[4]{16 \cdot 2 \cdot m^{16} \cdot m^2 \cdot n^{16} \cdot n} = \sqrt[4]{(16 \cdot m^{16} \cdot n^{16}) \cdot (2m^2n)}$
Вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{m^{16}} \cdot \sqrt[4]{n^{16}} \cdot \sqrt[4]{2m^2n} = 2 \cdot \sqrt[4]{(m^4)^4} \cdot \sqrt[4]{(n^4)^4} \cdot \sqrt[4]{2m^2n} = 2|m^4||n^4|\sqrt[4]{2m^2n}$
Поскольку $m^4$ и $n^4$ всегда неотрицательны, $|m^4|=m^4$ и $|n^4|=n^4$.
Ответ: $2m^4n^4\sqrt[4]{2m^2n}$

5) В выражении $\sqrt[4]{162a^4b^8c^{12}}$ при $a > 0, c < 0$ подкоренное выражение $162a^4b^8c^{12} = 162 \cdot a^4 \cdot (b^2)^4 \cdot (c^3)^4$ всегда неотрицательно.
Разложим число 162 на множители: $162 = 81 \cdot 2 = 3^4 \cdot 2$.
$\sqrt[4]{162a^4b^8c^{12}} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 2 \cdot a^4 \cdot b^8 \cdot c^{12}}$
Вынесем множители, степени которых кратны 4:
$\sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{b^8} \cdot \sqrt[4]{c^{12}} \cdot \sqrt[4]{2} = |3| \cdot |a| \cdot |b^2| \cdot |c^3| \cdot \sqrt[4]{2}$
Упростим модули с учетом заданных условий:
$|3| = 3$
$|a| = a$, так как $a > 0$.
$|b^2| = b^2$, так как $b^2 \ge 0$.
$|c^3| = -c^3$, так как $c < 0$, следовательно $c^3 < 0$.
Собираем результат: $3 \cdot a \cdot b^2 \cdot (-c^3) \cdot \sqrt[4]{2}$.
Ответ: $-3ab^2c^3\sqrt[4]{2}$

6) В выражении $\sqrt[4]{a^{15}b^{15}}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^{15}b^{15} = (ab)^{15} \ge 0$. Это верно, когда $ab \ge 0$.
Представим подкоренное выражение следующим образом:
$\sqrt[4]{a^{15}b^{15}} = \sqrt[4]{(ab)^{15}} = \sqrt[4]{(ab)^{12} \cdot (ab)^3}$
Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt[4]{((ab)^3)^4} \cdot \sqrt[4]{(ab)^3} = |(ab)^3|\sqrt[4]{(ab)^3}$
Так как $ab \ge 0$, то $(ab)^3 \ge 0$, и значит $|(ab)^3| = (ab)^3$.
Ответ: $(ab)^3\sqrt[4]{(ab)^3}$ или $a^3b^3\sqrt[4]{a^3b^3}$

7) В выражении $\sqrt[8]{-a^{25}b^{50}}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-a^{25}b^{50} \ge 0$. Так как $b^{50}=(b^{25})^2 \ge 0$, то должно выполняться $-a^{25} \ge 0$, что равносильно $a^{25} \le 0$, а это означает $a \le 0$.
Разложим подкоренное выражение на множители:
$\sqrt[8]{-a^{25}b^{50}} = \sqrt[8]{(-a) \cdot a^{24} \cdot b^{48} \cdot b^2} = \sqrt[8]{(a^{24}b^{48}) \cdot (-ab^2)}$
Вынесем множители, степени которых кратны 8:
$\sqrt[8]{a^{24}} \cdot \sqrt[8]{b^{48}} \cdot \sqrt[8]{-ab^2} = \sqrt[8]{(a^3)^8} \cdot \sqrt[8]{(b^6)^8} \cdot \sqrt[8]{-ab^2} = |a^3| \cdot |b^6| \cdot \sqrt[8]{-ab^2}$
Упростим модули:
$|a^3| = -a^3$, так как $a \le 0$, следовательно $a^3 \le 0$.
$|b^6| = b^6$, так как $b^6 \ge 0$.
Собираем результат: $(-a^3) \cdot b^6 \cdot \sqrt[8]{-ab^2}$.
Ответ: $-a^3b^6\sqrt[8]{-ab^2}$

9.40. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{32a^6}$, если $a \le 0$;

2) $\sqrt[4]{-625a^5}$;

3) $\sqrt[6]{a^7b^7}$, если $a < 0, b < 0$;

4) $\sqrt[6]{a^{20}b^{19}}$, если $a > 0$.

1) Для выражения $\sqrt[4]{32a^6}$ при условии $a \le 0$:

Сначала разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы выделить множители, являющиеся четвертой степенью какого-либо выражения. Число 32 можно представить как $16 \cdot 2 = 2^4 \cdot 2$. Переменную $a^6$ можно представить как $a^4 \cdot a^2$.

Тогда исходное выражение примет вид:

$\sqrt[4]{32a^6} = \sqrt[4]{16 \cdot 2 \cdot a^4 \cdot a^2} = \sqrt[4]{(16a^4) \cdot (2a^2)}$

Используя свойство корня $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$, получаем:

$\sqrt[4]{16a^4} \cdot \sqrt[4]{2a^2} = \sqrt[4]{(2a)^4} \cdot \sqrt[4]{2a^2}$

Поскольку корень четной степени ($n=4$), то $\sqrt[n]{x^n} = |x|$. Следовательно:

$\sqrt[4]{(2a)^4} = |2a|$

По условию $a \le 0$, значит, выражение $2a$ также не положительно ($2a \le 0$). По определению модуля, если выражение под ним не положительно, то $|x| = -x$. Поэтому:

$|2a| = -2a$

Собираем все части вместе:

$-2a \sqrt[4]{2a^2}$

Ответ: $-2a\sqrt[4]{2a^2}$

2) Для выражения $\sqrt[4]{-625a^5}$:

Корень четной степени (в данном случае четвертой) определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Значит, должно выполняться условие $-625a^5 \ge 0$.

Так как $-625 < 0$, неравенство будет верным, только если $a^5 \le 0$, что равносильно условию $a \le 0$. Это является областью определения данного выражения.

Разложим подкоренное выражение на множители:

$-625a^5 = 625 \cdot (-a) \cdot a^4 = 5^4 \cdot a^4 \cdot (-a)$

Теперь извлечем корень:

$\sqrt[4]{-625a^5} = \sqrt[4]{5^4 \cdot a^4 \cdot (-a)} = \sqrt[4]{5^4} \cdot \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{-a}$

Извлекаем корни из множителей:

$\sqrt[4]{5^4} = 5$

$\sqrt[4]{a^4} = |a|$

Так как из области определения мы знаем, что $a \le 0$, то $|a| = -a$.

Подставляем полученные значения в выражение:

$5 \cdot |a| \cdot \sqrt[4]{-a} = 5 \cdot (-a) \cdot \sqrt[4]{-a} = -5a\sqrt[4]{-a}$

Заметим, что под знаком корня осталось выражение $-a$, которое неотрицательно, так как $a \le 0$.

Ответ: $-5a\sqrt[4]{-a}$

3) Для выражения $\sqrt[6]{a^7b^7}$ при условии $a < 0, b < 0$:

Подкоренное выражение $a^7b^7$ можно записать как $(ab)^7$. Так как корень четной степени (шестой), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $(ab)^7 \ge 0$.

По условию $a < 0$ и $b < 0$, значит, их произведение $ab$ положительно ($ab > 0$). Следовательно, $(ab)^7$ также будет положительным, и выражение определено.

Разложим подкоренное выражение на множители, чтобы выделить шестую степень:

$a^7b^7 = (ab)^7 = (ab)^6 \cdot (ab)$

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt[6]{a^7b^7} = \sqrt[6]{(ab)^6 \cdot ab} = \sqrt[6]{(ab)^6} \cdot \sqrt[6]{ab}$

По свойству корня четной степени $\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$:

$\sqrt[6]{(ab)^6} = |ab|$

Поскольку $a < 0$ и $b < 0$, их произведение $ab > 0$. Значит, $|ab| = ab$.

Таким образом, окончательный результат:

$ab\sqrt[6]{ab}$

Ответ: $ab\sqrt[6]{ab}$

4) Для выражения $\sqrt[6]{a^{20}b^{19}}$ при условии $a > 0$:

Так как корень четной степени, подкоренное выражение $a^{20}b^{19}$ должно быть неотрицательным. По условию $a > 0$, поэтому $a^{20} > 0$. Чтобы произведение было неотрицательным, необходимо, чтобы $b^{19} \ge 0$, что означает $b \ge 0$.

Разложим показатели степеней под корнем на слагаемые, одно из которых делится на 6:

$a^{20} = a^{18} \cdot a^2 = (a^3)^6 \cdot a^2$

$b^{19} = b^{18} \cdot b = (b^3)^6 \cdot b$

Перепишем выражение под корнем:

$a^{20}b^{19} = (a^{18}b^{18}) \cdot (a^2b) = (a^3b^3)^6 \cdot a^2b$

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt[6]{a^{20}b^{19}} = \sqrt[6]{(a^3b^3)^6 \cdot a^2b} = \sqrt[6]{(a^3b^3)^6} \cdot \sqrt[6]{a^2b}$

Используем свойство $\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$:

$\sqrt[6]{(a^3b^3)^6} = |a^3b^3|$

Учитывая условия $a > 0$ и $b \ge 0$, имеем $a^3 > 0$ и $b^3 \ge 0$. Следовательно, их произведение $a^3b^3 \ge 0$. Тогда $|a^3b^3| = a^3b^3$.

Окончательное выражение:

$a^3b^3\sqrt[6]{a^2b}$

Ответ: $a^3b^3\sqrt[6]{a^2b}$

9.41. Внесите множитель под знак корня:

1) $a \sqrt[4]{2}$, если $a \ge 0$;

2) $ab \sqrt[6]{\frac{6}{a^3 b^2}}$, если $b < 0$;

3) $mn \sqrt[4]{\frac{1}{m^3 n^3}}$;

4) $b \sqrt[6]{6}$;

5) $a \sqrt[6]{-a}$;

6) $ab \sqrt[4]{ab^2}$, если $b \le 0$.

1) Дано выражение $a\sqrt[4]{2}$ с условием $a \geq 0$.
Чтобы внести множитель под знак корня, мы должны возвести этот множитель в степень, равную показателю корня, и умножить на подкоренное выражение.
Так как по условию $a$ является неотрицательным числом ($a \geq 0$), мы можем внести его под корень четвертой степени, возведя в четвертую степень. Это можно записать как $a = \sqrt[4]{a^4}$.
Теперь выполним преобразование:
$a\sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{a^4 \cdot 2} = \sqrt[4]{2a^4}$.
Ответ: $\sqrt[4]{2a^4}$.

2) Дано выражение $ab \sqrt[6]{\frac{6}{a^3b^2}}$ с условием $b < 0$.
Сначала определим область допустимых значений для переменной $a$. Так как корень четной степени (6-ой), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{6}{a^3b^2} \ge 0$. Поскольку $6 > 0$ и $b^2 > 0$ (так как $b < 0$), для выполнения неравенства необходимо, чтобы $a^3 > 0$, что означает $a > 0$.
Множитель, который мы вносим под знак корня, это $ab$. Так как $a > 0$ и $b < 0$, то их произведение $ab < 0$.
При внесении отрицательного множителя $C$ под знак корня четной степени $n$ используется правило: $C \cdot \sqrt[n]{A} = -\sqrt[n]{C^n \cdot A}$.
В нашем случае $C = ab$, $n=6$.
$ab \sqrt[6]{\frac{6}{a^3b^2}} = -\sqrt[6]{(ab)^6 \cdot \frac{6}{a^3b^2}} = -\sqrt[6]{a^6b^6 \cdot \frac{6}{a^3b^2}}$.
Упростим выражение под корнем:
$a^6b^6 \cdot \frac{6}{a^3b^2} = 6 \cdot \frac{a^6}{a^3} \cdot \frac{b^6}{b^2} = 6a^{6-3}b^{6-2} = 6a^3b^4$.
Таким образом, получаем:
$-\sqrt[6]{6a^3b^4}$.
Ответ: $-\sqrt[6]{6a^3b^4}$.

3) Дано выражение $mn \sqrt[4]{\frac{1}{m^3n^3}}$.
Определим область допустимых значений. Корень четной степени (4-ой), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{1}{m^3n^3} \ge 0$. Это возможно только если знаменатель $m^3n^3 > 0$, или $(mn)^3 > 0$, что означает $mn > 0$.
Множитель, который мы вносим под знак корня, это $mn$. Так как $mn > 0$, множитель является положительным.
При внесении положительного множителя $C$ под знак корня степени $n$ используется правило: $C \cdot \sqrt[n]{A} = \sqrt[n]{C^n \cdot A}$.
$mn \sqrt[4]{\frac{1}{m^3n^3}} = \sqrt[4]{(mn)^4 \cdot \frac{1}{m^3n^3}} = \sqrt[4]{\frac{m^4n^4}{m^3n^3}}$.
Упростим выражение под корнем:
$\frac{m^4n^4}{m^3n^3} = m^{4-3}n^{4-3} = mn$.
Таким образом, получаем:
$\sqrt[4]{mn}$.
Ответ: $\sqrt[4]{mn}$.

4) Дано выражение $b\sqrt[6]{6}$.
В условии не указан знак переменной $b$. Поэтому необходимо рассмотреть два случая.
Случай 1: $b \ge 0$.
Если множитель $b$ неотрицательный, мы вносим его под корень 6-й степени, возведя в 6-ю степень:
$b\sqrt[6]{6} = \sqrt[6]{b^6 \cdot 6} = \sqrt[6]{6b^6}$.
Случай 2: $b < 0$.
Если множитель $b$ отрицательный, то перед корнем после внесения множителя должен появиться знак "минус". Это происходит потому, что $b = -|b|$, и под корень четной степени вносится положительная величина $|b|$:
$b\sqrt[6]{6} = -|b|\sqrt[6]{6} = -\sqrt[6]{|b|^6 \cdot 6} = -\sqrt[6]{b^6 \cdot 6} = -\sqrt[6]{6b^6}$.
Таким образом, результат зависит от знака $b$.
Ответ: $\sqrt[6]{6b^6}$, если $b \ge 0$; $-\sqrt[6]{6b^6}$, если $b < 0$.

5) Дано выражение $a\sqrt[6]{-a}$.
Определим область допустимых значений. Так как корень четной степени (6-ой), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-a \ge 0$, что эквивалентно $a \le 0$.
Множитель, который мы вносим под знак корня, это $a$. По ОДЗ, $a \le 0$.
Если $a = 0$, выражение равно $0 \cdot \sqrt[6]{0} = 0$.
Если $a < 0$, множитель $a$ является отрицательным.
При внесении отрицательного множителя $C$ под знак корня четной степени $n$ используется правило: $C \cdot \sqrt[n]{A} = -\sqrt[n]{C^n \cdot A}$.
В нашем случае $C=a$ и $A=-a$.
$a\sqrt[6]{-a} = -\sqrt[6]{a^6 \cdot (-a)} = -\sqrt[6]{-a^{6+1}} = -\sqrt[6]{-a^7}$.
Этот результат также верен для $a=0$, так как $-\sqrt[6]{-0^7} = 0$.
Ответ: $-\sqrt[6]{-a^7}$.

6) Дано выражение $ab\sqrt[4]{ab^2}$ с условием $b \le 0$.
Определим область допустимых значений для переменной $a$. Так как корень четной степени (4-ой), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $ab^2 \ge 0$.
По условию $b \le 0$.
Если $b = 0$, то $a \cdot 0^2 = 0 \ge 0$ для любого $a$. Выражение становится $a \cdot 0 \cdot \sqrt[4]{a \cdot 0^2} = 0$.
Если $b < 0$, то $b^2 > 0$. Неравенство $ab^2 \ge 0$ сводится к $a \ge 0$.
Итак, выражение определено при $b=0$ (для любого $a$) и при $b<0, a\ge0$.
Рассмотрим знак множителя $ab$.
Если $b=0$ или $a=0$, то $ab=0$, и все выражение равно 0.
Если $b < 0$ и $a > 0$, то множитель $ab$ отрицательный.
Для случая $a>0, b<0$ мы вносим отрицательный множитель $ab$ под знак корня четной степени (4-ой), поэтому перед корнем ставится знак "минус":
$ab\sqrt[4]{ab^2} = -\sqrt[4]{(ab)^4 \cdot (ab^2)} = -\sqrt[4]{a^4b^4 \cdot a \cdot b^2}$.
Упростим выражение под корнем:
$a^4b^4 \cdot a \cdot b^2 = a^{4+1}b^{4+2} = a^5b^6$.
Таким образом, получаем:
$-\sqrt[4]{a^5b^6}$.
Этот результат также верен для граничных случаев $a=0$ или $b=0$, так как он обращается в 0.
Ответ: $-\sqrt[4]{a^5b^6}$.

9.42. Внесите множитель под знак корня:

1) $c\sqrt[8]{3}$, если $c \le 0$;

2) $a\sqrt[6]{a}$;

3) $-ab\sqrt[4]{6}$, если $a \le 0, b \ge 0$;

4) $ab\sqrt[8]{\frac{3}{a^4b^5}}$, если $a < 0$;

5) $a\sqrt[4]{-a^3}$.

1) Чтобы внести множитель $c$ под знак корня четной степени (в данном случае 8), необходимо учесть знак этого множителя. По условию $c \le 0$, то есть множитель является неположительным. Для внесения отрицательного или нулевого множителя $B$ под знак корня четной степени $2n$ используется правило: $B\sqrt[2n]{A} = -\sqrt[2n]{B^{2n}A}$. Применим это правило к нашему выражению: $c\sqrt[8]{3} = -\sqrt[8]{c^8 \cdot 3} = -\sqrt[8]{3c^8}$.
Ответ: $-\sqrt[8]{3c^8}$.

2) В выражении $a^6\sqrt[6]{a}$ корень шестой степени (четная степень) определен только для неотрицательных подкоренных выражений, следовательно, должно выполняться условие $a \ge 0$. Множитель перед корнем, $a^6$, всегда неотрицателен, так как любое число в четной степени не может быть отрицательным ($a^6 \ge 0$). Для внесения неотрицательного множителя $B$ под знак корня используется правило $B\sqrt[n]{A} = \sqrt[n]{B^n A}$. Вносим множитель $a^6$ под знак корня: $a^6\sqrt[6]{a} = \sqrt[6]{(a^6)^6 \cdot a} = \sqrt[6]{a^{36} \cdot a} = \sqrt[6]{a^{37}}$.
Ответ: $\sqrt[6]{a^{37}}$.

3) Рассмотрим выражение $-ab\sqrt[4]{6}$ при условиях $a \le 0$ и $b \ge 0$. Степень корня равна 4 (четная). Сначала определим знак множителя $-ab$, который стоит перед корнем. Поскольку $a \le 0$ и $b \ge 0$, их произведение $ab \le 0$. Следовательно, множитель $-ab$ является неотрицательным ($-ab \ge 0$). Так как множитель неотрицательный, мы можем внести его под знак корня, возведя в 4-ю степень: $-ab\sqrt[4]{6} = \sqrt[4]{(-ab)^4 \cdot 6} = \sqrt[4]{a^4b^4 \cdot 6} = \sqrt[4]{6a^4b^4}$.
Ответ: $\sqrt[4]{6a^4b^4}$.

4) Дано выражение $ab\sqrt[8]{\frac{3}{a^4b^5}}$ при условии $a < 0$. Степень корня равна 8 (четная). Чтобы корень был определен, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\frac{3}{a^4b^5} \ge 0$. Так как $a^4 > 0$ при $a < 0$ и $3>0$, то необходимо, чтобы $b^5 > 0$, что означает $b > 0$. Теперь определим знак множителя $ab$. При $a < 0$ и $b > 0$ их произведение $ab < 0$. Поскольку множитель отрицательный, для внесения его под корень четной степени используем правило $B\sqrt[2n]{A} = -\sqrt[2n]{B^{2n}A}$: $ab\sqrt[8]{\frac{3}{a^4b^5}} = -\sqrt[8]{(ab)^8 \cdot \frac{3}{a^4b^5}}$. Упростим выражение под корнем: $a^8b^8 \cdot \frac{3}{a^4b^5} = 3 \cdot \frac{a^8}{a^4} \cdot \frac{b^8}{b^5} = 3a^{4}b^{3}$. В итоге получаем: $-\sqrt[8]{3a^4b^3}$.
Ответ: $-\sqrt[8]{3a^4b^3}$.

5) Рассмотрим выражение $a\sqrt[4]{-a^3}$. Степень корня равна 4 (четная), поэтому подкоренное выражение $-a^3$ должно быть неотрицательным: $-a^3 \ge 0$, что эквивалентно $a^3 \le 0$, а значит $a \le 0$. Таким образом, множитель $a$ перед корнем является неположительным. Если $a<0$, то множитель отрицательный, и для внесения его под корень четной степени используем правило $B\sqrt[2n]{A} = -\sqrt[2n]{B^{2n}A}$. Если $a=0$, то обе части равенства обращаются в ноль. Применяем правило: $a\sqrt[4]{-a^3} = -\sqrt[4]{a^4 \cdot (-a^3)} = -\sqrt[4]{-a^{4+3}} = -\sqrt[4]{-a^7}$.
Ответ: $-\sqrt[4]{-a^7}$.