Страница 85 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют степенью положительного числа $a$ с показателем $\frac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$, $n > 1$?

1. Степенью положительного числа $a$ ($a > 0$) с рациональным показателем $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$, $n > 1$), называют корень $n$-й степени из $m$-й степени числа $a$.

Это определение можно записать в виде формулы:

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

В этой формуле знаменатель показателя степени $n$ становится показателем корня, а числитель $m$ — показателем степени подкоренного выражения. Условие, что основание $a$ является положительным числом, является ключевым, так как оно гарантирует, что корень $n$-й степени из $a^m$ будет определен и однозначен в области действительных чисел.

Например, $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$.

Ответ: Степенью положительного числа $a$ с показателем $\frac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}, n > 1$, называется значение выражения $\sqrt[n]{a^m}$.

2. Что называют степенью числа 0 с показателем $\frac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{N}$, $n \in \mathbb{N}$?

2.

Степенью числа 0 с положительным рациональным показателем называют число 0. Рассмотрим это определение подробно.

Общее определение степени с рациональным показателем $r = \frac{m}{n}$ для неотрицательного основания $a \ge 0$ и натуральных чисел $m$ и $n$ выглядит следующим образом:

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

В данном вопросе основание $a=0$, а показатель степени равен $\frac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{N}$ и $n \in \mathbb{N}$. Это означает, что $m$ и $n$ являются натуральными числами (т.е. $m \ge 1, n \ge 1$), и, следовательно, показатель степени $\frac{m}{n}$ является положительным рациональным числом.

Применим определение к нашему случаю:

$0^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{0^m}$

Сначала вычислим выражение под корнем. Так как $m$ - натуральное число, то $0^m$ представляет собой произведение $m$ нулей:

$0^m = \underbrace{0 \cdot 0 \cdot \dots \cdot 0}_{m \text{ раз}} = 0$

Теперь подставим полученное значение обратно в формулу:

$0^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{0}$

Корень $n$-й степени из нуля, где $n$ - любое натуральное число, по определению равен нулю, так как только ноль, возведенный в степень $n$, дает в результате ноль ($0^n = 0$).

$\sqrt[n]{0} = 0$

Таким образом, мы приходим к выводу, что для любых натуральных $m$ и $n$ степень числа 0 с показателем $\frac{m}{n}$ равна 0.

Ответ: Степенью числа 0 с положительным рациональным показателем $\frac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{N}$ и $n \in \mathbb{N}$, по определению является число 0. Формульно это записывается как $0^{\frac{m}{n}} = 0$.

3. Какую функцию называют степенной функцией с рациональным показателем?

Степенной функцией с рациональным показателем называют функцию, которую можно задать формулой $y = x^r$, где $x$ — независимая переменная (основание степени), а $r$ — любое рациональное число (показатель степени).

Рациональное число $r$ можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}, n \ge 2$). В этом случае формула функции принимает вид $y = x^{\frac{m}{n}}$. По определению степени с рациональным показателем, это выражение тождественно корню: $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$.

Область определения степенной функции с рациональным показателем зависит от этого показателя. Чтобы избежать неопределенности (например, извлечения корня четной степени из отрицательного числа), в общем случае основание степени $x$ рассматривают на множестве положительных чисел ($x > 0$).

Например, рассмотрим функцию $y = x^{1/2}$. Она же записывается как $y = \sqrt{x}$, и её область определения — $x \ge 0$. Для функции $y = x^{2/3}$, или $y = \sqrt[3]{x^2}$, область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), так как корень нечетной степени можно извлечь из любого числа. В случае функции с отрицательным показателем, например $y = x^{-3/4}$ (то есть $y = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$), область определения — $x > 0$, так как основание под корнем четной степени должно быть неотрицательным и, из-за отрицательного показателя, не может быть равно нулю.

Ответ: Степенной функцией с рациональным показателем называется функция вида $y = x^r$, где $x$ — переменная, а $r$ — рациональное число.

4. Сформулируйте свойства степеней с рациональным показателем.

Свойства степеней с рациональным показателем являются обобщением свойств для степеней с целым показателем. Они определены для любого положительного основания. Степенью числа $a > 0$ с рациональным показателем $r = \frac{m}{n}$ (где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное, $n \ge 2$) называется число $\sqrt[n]{a^m}$. Таким образом, $a^r = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.

Для любых положительных чисел $a$, $b$ и любых рациональных чисел $p$, $q$ выполняются следующие свойства:

Умножение степеней с одинаковым основанием
При умножении степеней с одинаковыми положительными основаниями их показатели складываются, а основание остается тем же.
Ответ: $a^p \cdot a^q = a^{p+q}$

Деление степеней с одинаковым основанием
При делении степеней с одинаковыми положительными основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя, а основание оставляют тем же.
Ответ: $a^p : a^q = \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}$

Возведение степени в степень
При возведении степени в степень показатели перемножают, а основание оставляют без изменения.
Ответ: $(a^p)^q = a^{p \cdot q}$

Степень произведения
Чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый из сомножителей и результаты перемножить.
Ответ: $(a \cdot b)^p = a^p \cdot b^p$

Степень частного (дроби)
Чтобы возвести в степень частное (дробь), нужно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель и первый результат разделить на второй.
Ответ: $(\frac{a}{b})^p = \frac{a^p}{b^p}$

10.1. Представьте степень с дробным показателем в виде корня:

1) $5^{\frac{1}{3}};$

2) $b^{-\frac{1}{7}};$

3) $(ab)^{\frac{4}{7}};$

4) $(m+n)^{2,5}.$

Для преобразования степени с дробным показателем в корень используется общее правило: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где основание $a > 0$, $m$ — показатель степени подкоренного выражения (целое число), а $n$ — показатель корня (натуральное число, $n \ge 2$).

1)

Дано выражение $5^{\frac{1}{3}}$.

Согласно правилу, основание степени $a=5$ становится подкоренным выражением, числитель дроби $m=1$ — показателем степени подкоренного выражения, а знаменатель $n=3$ — показателем корня.

Получаем: $5^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{5^1} = \sqrt[3]{5}$.

Ответ: $\sqrt[3]{5}$

2)

Дано выражение $b^{-\frac{1}{7}}$.

Сначала используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$:

$b^{-\frac{1}{7}} = \frac{1}{b^{\frac{1}{7}}}$.

Теперь преобразуем знаменатель $b^{\frac{1}{7}}$ в корень. Здесь основание $a=b$, числитель $m=1$, знаменатель $n=7$.

$b^{\frac{1}{7}} = \sqrt[7]{b^1} = \sqrt[7]{b}$.

Таким образом, итоговое выражение имеет вид: $\frac{1}{\sqrt[7]{b}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[7]{b}}$

3)

Дано выражение $(ab)^{\frac{4}{7}}$.

В данном случае основание степени — это произведение $(ab)$, числитель показателя $m=4$, а знаменатель $n=7$.

Применяем формулу:

$(ab)^{\frac{4}{7}} = \sqrt[7]{(ab)^4}$.

Это выражение можно также записать, раскрыв скобки под корнем: $\sqrt[7]{a^4b^4}$.

Ответ: $\sqrt[7]{(ab)^4}$

4)

Дано выражение $(m+n)^{2.5}$.

В первую очередь, представим десятичный показатель $2.5$ в виде обыкновенной дроби:

$2.5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$.

Теперь выражение выглядит так: $(m+n)^{\frac{5}{2}}$.

Преобразуем его в корень. Основание степени — $(m+n)$, числитель $m=5$, знаменатель $n=2$.

$(m+n)^{\frac{5}{2}} = \sqrt[2]{(m+n)^5}$.

Показатель корня, равный 2, в записи обычно опускается, поэтому получаем квадратный корень:

$\sqrt{(m+n)^5}$.

Ответ: $\sqrt{(m+n)^5}$

10.2. Замените степень с дробным показателем корнем:

1) $3^{-\frac{1}{9}};$

2) $c^{0,2};$

3) $x^{\frac{6}{7}};$

4) $(a-2b)^{\frac{9}{16}}.$

Для того чтобы заменить степень с дробным показателем корнем, используется основное свойство степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a \ge 0$, $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число ($n \ge 2$). Если показатель степени отрицательный, применяется свойство $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$.

1) Дано выражение $3^{-\frac{1}{9}}$.
Вначале избавимся от отрицательного показателя степени, используя правило $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$:
$3^{-\frac{1}{9}} = \frac{1}{3^{\frac{1}{9}}}$
Теперь заменим степень с дробным показателем в знаменателе на корень по формуле $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В данном случае основание $a=3$, числитель показателя $m=1$, а знаменатель $n=9$:
$3^{\frac{1}{9}} = \sqrt[9]{3^1} = \sqrt[9]{3}$
Таким образом, итоговое выражение имеет вид:
$\frac{1}{\sqrt[9]{3}}$
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[9]{3}}$.

2) Дано выражение $c^{0.2}$.
Первым шагом представим десятичный показатель $0.2$ в виде обыкновенной дроби:
$0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Теперь выражение выглядит так: $c^{\frac{1}{5}}$.
Применим формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где основание это $c$, $m=1$ и $n=5$:
$c^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{c^1} = \sqrt[5]{c}$
Ответ: $\sqrt[5]{c}$.

3) Дано выражение $x^{\frac{6}{7}}$.
Сразу применяем формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В этом выражении основание — $x$, числитель показателя $m=6$, а знаменатель $n=7$:
$x^{\frac{6}{7}} = \sqrt[7]{x^6}$
Ответ: $\sqrt[7]{x^6}$.

4) Дано выражение $(a - 2b)^{\frac{9}{16}}$.
В этом случае основанием степени является выражение в скобках $(a-2b)$. Применяем ту же формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где основание — $(a-2b)$, числитель показателя $m=9$, а знаменатель $n=16$:
$(a - 2b)^{\frac{9}{16}} = \sqrt[16]{(a - 2b)^9}$
Ответ: $\sqrt[16]{(a - 2b)^9}$.