Страница 87 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.13. Раскройте скобки:

1) $2a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 4) + 8a^{\frac{1}{2}};$

2) $(a^{0.5} - 3b^{0.3})(2a^{0.5} + b^{0.3});$

3) $(3b^{\frac{2}{3}} - c^{\frac{3}{2}})(3b^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{3}{2}});$

4) $(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2;$

5) $(a^{-\frac{1}{2}} - \frac{1}{4}a^{-\frac{1}{6}})^2;$

6) $(b^{0.4} + 3)^2 - 6b^{0.4};$

7) $(c^{\frac{1}{3}} - 1)(c^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{1}{3}} + 1);$

8) $(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{5}{6}} + a);$

9) $(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}});$

10) $(x^{\frac{2}{9}} - 1)(x^{\frac{4}{9}} + x^{\frac{2}{9}} + 1)(x^{\frac{2}{3}} + 1).$

1) $2a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 4) + 8a^{\frac{1}{2}}$

Раскроем скобки, умножив $2a^{\frac{1}{2}}$ на каждый член в скобках, а затем приведем подобные слагаемые. Используем свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

$2a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 4) + 8a^{\frac{1}{2}} = 2a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} - 2a^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 8a^{\frac{1}{2}} = 2a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} - 8a^{\frac{1}{2}} + 8a^{\frac{1}{2}} = 2a^1 - 8a^{\frac{1}{2}} + 8a^{\frac{1}{2}}.$

Слагаемые $-8a^{\frac{1}{2}}$ и $8a^{\frac{1}{2}}$ взаимно уничтожаются.

$2a - 0 = 2a$.

Ответ: $2a$.

2) $(a^{0.5} - 3b^{0.3})(2a^{0.5} + b^{0.3})$

Раскроем скобки, перемножив каждый член первого двучлена на каждый член второго (по правилу FOIL).

$(a^{0.5} - 3b^{0.3})(2a^{0.5} + b^{0.3}) = a^{0.5} \cdot 2a^{0.5} + a^{0.5} \cdot b^{0.3} - 3b^{0.3} \cdot 2a^{0.5} - 3b^{0.3} \cdot b^{0.3}$.

Упростим, используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$2a^{0.5+0.5} + a^{0.5}b^{0.3} - 6a^{0.5}b^{0.3} - 3b^{0.3+0.3} = 2a^1 + a^{0.5}b^{0.3} - 6a^{0.5}b^{0.3} - 3b^{0.6}$.

Приведем подобные слагаемые:

$2a - 5a^{0.5}b^{0.3} - 3b^{0.6}$.

Ответ: $2a - 5a^{0.5}b^{0.3} - 3b^{0.6}$.

3) $(3b^{\frac{2}{3}} - c^{\frac{3}{2}})(3b^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{3}{2}})$

Это выражение является формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Здесь $x = 3b^{\frac{2}{3}}$ и $y = c^{\frac{3}{2}}$.

Применяем формулу:

$(3b^{\frac{2}{3}})^2 - (c^{\frac{3}{2}})^2 = 3^2 \cdot (b^{\frac{2}{3}})^2 - (c^{\frac{3}{2}})^2$.

Используем свойство степеней $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$9b^{\frac{2}{3} \cdot 2} - c^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 9b^{\frac{4}{3}} - c^3$.

Ответ: $9b^{\frac{4}{3}} - c^3$.

4) $(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2$

Это выражение является формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Здесь $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = b^{\frac{1}{3}}$.

Применяем формулу:

$(a^{\frac{1}{3}})^2 + 2 \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2 = a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$.

Ответ: $a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$.

5) $(a^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4}a^{-\frac{1}{6}})^2$

Это выражение является формулой квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Здесь $x = a^{\frac{1}{2}}$ и $y = \frac{1}{4}a^{-\frac{1}{6}}$.

Применяем формулу:

$(a^{\frac{1}{2}})^2 - 2 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot (\frac{1}{4}a^{-\frac{1}{6}}) + (\frac{1}{4}a^{-\frac{1}{6}})^2 = a^1 - \frac{2}{4}a^{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}} + \frac{1}{16}a^{-\frac{1}{6} \cdot 2}$.

Упрощаем показатели степеней и коэффициенты:

$a - \frac{1}{2}a^{\frac{3}{6}-\frac{1}{6}} + \frac{1}{16}a^{-\frac{2}{6}} = a - \frac{1}{2}a^{\frac{2}{6}} + \frac{1}{16}a^{-\frac{1}{3}} = a - \frac{1}{2}a^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{16}a^{-\frac{1}{3}}$.

Ответ: $a - \frac{1}{2}a^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{16}a^{-\frac{1}{3}}$.

6) $(b^{0.4} + 3)^2 - 6b^{0.4}$

Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(b^{0.4})^2 + 2 \cdot b^{0.4} \cdot 3 + 3^2 - 6b^{0.4} = b^{0.4 \cdot 2} + 6b^{0.4} + 9 - 6b^{0.4}$.

Упрощаем и приводим подобные слагаемые:

$b^{0.8} + 6b^{0.4} + 9 - 6b^{0.4} = b^{0.8} + 9$.

Ответ: $b^{0.8} + 9$.

7) $(c^{\frac{1}{3}} - 1)(c^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{1}{3}} + 1)$

Это выражение является формулой разности кубов $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 - y^3$.

Здесь $x = c^{\frac{1}{3}}$ и $y = 1$. Проверим: $x^2 = (c^{\frac{1}{3}})^2 = c^{\frac{2}{3}}$, $xy = c^{\frac{1}{3}} \cdot 1 = c^{\frac{1}{3}}$, $y^2 = 1^2 = 1$.

Применяем формулу:

$(c^{\frac{1}{3}})^3 - 1^3 = c^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 1 = c^1 - 1 = c - 1$.

Ответ: $c - 1$.

8) $(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{5}{6}} + a)$

Это выражение соответствует формуле суммы кубов $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$.

Пусть $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = a^{\frac{1}{2}}$.

Тогда $x^2 = (a^{\frac{1}{3}})^2 = a^{\frac{2}{3}}$, $y^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 = a$, и $xy = a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{6}+\frac{3}{6}} = a^{\frac{5}{6}}$.

Вторая скобка в исходном выражении $(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{5}{6}} + a)$ точно соответствует $(x^2 - xy + y^2)$.

Следовательно, мы можем применить формулу суммы кубов:

$(a^{\frac{1}{3}})^3 + (a^{\frac{1}{2}})^3 = a^{\frac{3}{3}} + a^{\frac{3}{2}} = a + a^{\frac{3}{2}}$.

Ответ: $a + a^{\frac{3}{2}}$.

9) $(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})$

Сначала перемножим первые две скобки, используя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}}) = (a^{\frac{1}{6}})^2 - (b^{\frac{1}{6}})^2 = a^{\frac{2}{6}} - b^{\frac{2}{6}} = a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}$.

Теперь умножим полученный результат на третью скобку:

$(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) = (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})^2$.

Применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a^{\frac{1}{3}})^2 - 2 \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2 = a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$.

Ответ: $a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$.

10) $(x^{\frac{2}{9}} - 1)(x^{\frac{4}{9}} + x^{\frac{2}{9}} + 1)(x^{\frac{2}{3}} + 1)$

Сначала перемножим первые две скобки. Это формула разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$, где $a = x^{\frac{2}{9}}$ и $b=1$.

$(x^{\frac{2}{9}} - 1)(x^{\frac{4}{9}} + x^{\frac{2}{9}} + 1) = (x^{\frac{2}{9}})^3 - 1^3 = x^{\frac{2}{9} \cdot 3} - 1 = x^{\frac{6}{9}} - 1 = x^{\frac{2}{3}} - 1$.

Теперь умножим полученный результат на последнюю скобку:

$(x^{\frac{2}{3}} - 1)(x^{\frac{2}{3}} + 1)$.

Это формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a = x^{\frac{2}{3}}$ и $b=1$.

$(x^{\frac{2}{3}})^2 - 1^2 = x^{\frac{2}{3} \cdot 2} - 1 = x^{\frac{4}{3}} - 1$.

Ответ: $x^{\frac{4}{3}} - 1$.

10.14. Раскройте скобки:

1) $(5a^{0{,}4} + b^{0{,}2})(3a^{0{,}4} - 4b^{0{,}2});$

2) $(m^{0{,}5} + n^{0{,}5})(m^{0{,}5} - n^{0{,}5});$

3) $(a^{\frac{1}{3}} - 5b^{-\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{3}} + 5b^{-\frac{1}{4}});$

4) $(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})^2;$

5) $(b^{\frac{4}{3}} - b^{-\frac{2}{3}})^2;$

6) $(x^{\frac{1}{6}} + 2)(x^{\frac{1}{3}} - 2x^{\frac{1}{6}} + 4);;$

7) $(y^{1{,}5} - 4y^{0{,}5})^2 + 8y^2;$

8) $(a^{\frac{1}{8}} - 1)(a^{\frac{1}{4}} + 1)(a^{\frac{1}{8}} + 1).$

1) Чтобы раскрыть скобки в выражении $(5a^{0.4} + b^{0.2})(3a^{0.4} - 4b^{0.2})$, воспользуемся правилом умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго):
$(5a^{0.4} + b^{0.2})(3a^{0.4} - 4b^{0.2}) = 5a^{0.4} \cdot 3a^{0.4} + 5a^{0.4} \cdot (-4b^{0.2}) + b^{0.2} \cdot 3a^{0.4} + b^{0.2} \cdot (-4b^{0.2})$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$15a^{0.4+0.4} - 20a^{0.4}b^{0.2} + 3a^{0.4}b^{0.2} - 4b^{0.2+0.2} = 15a^{0.8} - 20a^{0.4}b^{0.2} + 3a^{0.4}b^{0.2} - 4b^{0.4}$
Приведем подобные слагаемые:
$15a^{0.8} - 17a^{0.4}b^{0.2} - 4b^{0.4}$
Ответ: $15a^{0.8} - 17a^{0.4}b^{0.2} - 4b^{0.4}$.

2) Данное выражение является произведением суммы и разности двух выражений, что соответствует формуле сокращенного умножения "разность квадратов": $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.
В нашем случае $x = m^{0.5}$ и $y = n^{0.5}$.
$(m^{0.5} + n^{0.5})(m^{0.5} - n^{0.5}) = (m^{0.5})^2 - (n^{0.5})^2$
При возведении степени в степень показатели перемножаются:
$m^{0.5 \cdot 2} - n^{0.5 \cdot 2} = m^1 - n^1 = m - n$.
Ответ: $m - n$.

3) Здесь также применяется формула разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
Пусть $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = 5b^{-\frac{1}{4}}$.
$(a^{\frac{1}{3}} - 5b^{-\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{3}} + 5b^{-\frac{1}{4}}) = (a^{\frac{1}{3}})^2 - (5b^{-\frac{1}{4}})^2 = a^{\frac{1}{3} \cdot 2} - 5^2 \cdot b^{-\frac{1}{4} \cdot 2} = a^{\frac{2}{3}} - 25b^{-\frac{2}{4}} = a^{\frac{2}{3}} - 25b^{-\frac{1}{2}}$.
Ответ: $a^{\frac{2}{3}} - 25b^{-\frac{1}{2}}$.

4) Для раскрытия скобок используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В данном случае $x = m^{\frac{1}{2}}$ и $y = n^{\frac{1}{2}}$.
$(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})^2 = (m^{\frac{1}{2}})^2 - 2 \cdot m^{\frac{1}{2}} \cdot n^{\frac{1}{2}} + (n^{\frac{1}{2}})^2 = m^{1} - 2(mn)^{\frac{1}{2}} + n^{1} = m - 2m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n$.
Ответ: $m - 2m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n$.

5) Применяем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x = b^{\frac{4}{3}}$ и $y = b^{-\frac{2}{3}}$.
$(b^{\frac{4}{3}} - b^{-\frac{2}{3}})^2 = (b^{\frac{4}{3}})^2 - 2 \cdot b^{\frac{4}{3}} \cdot b^{-\frac{2}{3}} + (b^{-\frac{2}{3}})^2 = b^{\frac{4}{3} \cdot 2} - 2b^{\frac{4}{3} + (-\frac{2}{3})} + b^{-\frac{2}{3} \cdot 2} = b^{\frac{8}{3}} - 2b^{\frac{2}{3}} + b^{-\frac{4}{3}}$.
Ответ: $b^{\frac{8}{3}} - 2b^{\frac{2}{3}} + b^{-\frac{4}{3}}$.

6) Это выражение соответствует формуле суммы кубов: $(x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$.
Определим $x$ и $y$. Пусть $x = x^{\frac{1}{6}}$ и $y = 2$.
Проверим, соответствует ли второй множитель $(x^{\frac{1}{3}} - 2x^{\frac{1}{6}} + 4)$ части формулы $(x^2 - xy + y^2)$:
$x^2 = (x^{\frac{1}{6}})^2 = x^{\frac{2}{6}} = x^{\frac{1}{3}}$.
$xy = x^{\frac{1}{6}} \cdot 2 = 2x^{\frac{1}{6}}$.
$y^2 = 2^2 = 4$.
Второй множитель действительно равен $x^2 - xy + y^2$.
Следовательно, результат равен $x^3 + y^3$:
$(x^{\frac{1}{6}})^3 + 2^3 = x^{\frac{3}{6}} + 8 = x^{\frac{1}{2}} + 8$.
Ответ: $x^{\frac{1}{2}} + 8$.

7) Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а затем приведем подобные слагаемые.
В выражении $(y^{1.5} - 4y^{0.5})^2$ пусть $a = y^{1.5}$ и $b = 4y^{0.5}$.
$(y^{1.5} - 4y^{0.5})^2 = (y^{1.5})^2 - 2 \cdot y^{1.5} \cdot 4y^{0.5} + (4y^{0.5})^2 = y^{1.5 \cdot 2} - 8y^{1.5+0.5} + 16y^{0.5 \cdot 2} = y^3 - 8y^2 + 16y$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$(y^3 - 8y^2 + 16y) + 8y^2$.
Приведем подобные слагаемые: $y^3 - 8y^2 + 8y^2 + 16y = y^3 + 16y$.
Ответ: $y^3 + 16y$.

8) Для решения этого примера удобно переставить множители и дважды применить формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
Исходное выражение: $(a^{\frac{1}{8}} - 1)(a^{\frac{1}{4}} + 1)(a^{\frac{1}{8}} + 1)$.
Сгруппируем первый и третий множители: $[(a^{\frac{1}{8}} - 1)(a^{\frac{1}{8}} + 1)](a^{\frac{1}{4}} + 1)$.
Применим формулу разности квадратов к выражению в квадратных скобках, где $x = a^{\frac{1}{8}}$ и $y=1$:
$(a^{\frac{1}{8}})^2 - 1^2 = a^{\frac{2}{8}} - 1 = a^{\frac{1}{4}} - 1$.
Теперь выражение приняло вид: $(a^{\frac{1}{4}} - 1)(a^{\frac{1}{4}} + 1)$.
Снова применяем формулу разности квадратов, где $x = a^{\frac{1}{4}}$ и $y=1$:
$(a^{\frac{1}{4}})^2 - 1^2 = a^{\frac{2}{4}} - 1 = a^{\frac{1}{2}} - 1$.
Ответ: $a^{\frac{1}{2}} - 1$.

10.15. Вычислите значение выражения:

1) $12^{1/3} \cdot 6^{2/3} \cdot (0,5)^3;$

2) $25^{1,5} + (0,25)^{-0,5} - 81^{0,75};$

3) $(\frac{1}{16})^{-3/4} + (\frac{1}{8})^{2/3} \cdot (0,81)^{-0,5};$

4) $16^{1/8} \cdot 8^{5/6} \cdot 4^{1,5};$

5) $\frac{10000^{0,4} \cdot 10^{0,5}}{100^{0,3} \cdot 1000^{1/6}};$

6) $\frac{5^{3/2} \cdot 8^{1/2}}{9^{1/6}} \cdot \frac{8^{1/4}}{5^{5/2} \cdot 9^{1/3}};$

7) $(72^{2/3})^{1/2} \cdot 2^{-4/3} : 36^{-1/6};$

8) $\left(\frac{3^{5/6} \cdot 7^{5/6}}{21^{-1} \cdot 5^3}\right)^{-6};$

1) Для вычисления значения выражения $12^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}} \cdot (0,5)^{\frac{1}{3}}$ воспользуемся свойствами степеней. Представим число $12$ как произведение $2 \cdot 6$, а десятичную дробь $0,5$ как обыкновенную дробь $\frac{1}{2}$. $12^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}} \cdot (0,5)^{\frac{1}{3}} = (2 \cdot 6)^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}} \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}}$. Используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, раскроем скобки: $2^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}} \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}}$. Заметим, что $(\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}} = (2^{-1})^{\frac{1}{3}} = 2^{-\frac{1}{3}}$. Выражение принимает вид: $2^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}}$. Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и применим свойство $a^m a^n = a^{m+n}$: $(2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}}) \cdot (6^{\frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{2}{3}}) = 2^{\frac{1}{3} - \frac{1}{3}} \cdot 6^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} = 2^0 \cdot 6^{\frac{3}{3}} = 2^0 \cdot 6^1 = 1 \cdot 6 = 6$. Ответ: 6

2) Для вычисления значения выражения $25^{1,5} + (0,25)^{-0,5} - 81^{0,75}$ преобразуем десятичные степени в обыкновенные дроби: $1,5 = \frac{3}{2}$, $0,25 = \frac{1}{4}$, $-0,5 = -\frac{1}{2}$, $0,75 = \frac{3}{4}$. Выражение примет вид: $25^{\frac{3}{2}} + (\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} - 81^{\frac{3}{4}}$. Вычислим каждое слагаемое по отдельности, используя свойство $(a^m)^n=a^{mn}$ и $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$: $25^{\frac{3}{2}} = (5^2)^{\frac{3}{2}} = 5^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 5^3 = 125$. $(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} = (4^{-1})^{-\frac{1}{2}} = 4^{-1 \cdot (-\frac{1}{2})} = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$. $81^{\frac{3}{4}} = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^3 = 27$. Теперь выполним сложение и вычитание: $125 + 2 - 27 = 127 - 27 = 100$. Ответ: 100

3) Рассмотрим выражение $(\left(\frac{1}{16}\right)^{-\frac{3}{4}} + \left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}) \cdot (0,81)^{-0,5}$. Преобразуем десятичные дроби и отрицательные степени. $0,81 = \frac{81}{100}$, $-0,5 = -\frac{1}{2}$. Сначала вычислим значение в скобках. Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$: $\left(\frac{1}{16}\right)^{-\frac{3}{4}} = 16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$. $\left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4$. Сумма в скобках равна $8 + 4 = 12$. Теперь вычислим второй множитель: $(0,81)^{-0,5} = \left(\frac{81}{100}\right)^{-\frac{1}{2}} = \left(\frac{100}{81}\right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{100}{81}} = \frac{10}{9}$. Перемножим полученные результаты: $12 \cdot \frac{10}{9} = \frac{12 \cdot 10}{9} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 10}{3 \cdot 3} = \frac{40}{3}$. Ответ: $\frac{40}{3}$

4) Для вычисления значения выражения $16^{\frac{1}{8}} \cdot 8^{-\frac{5}{6}} \cdot 4^{1,5}$ представим все основания степеней как степени числа 2: $16=2^4$, $8=2^3$, $4=2^2$. Также преобразуем $1,5 = \frac{3}{2}$. Выражение примет вид: $(2^4)^{\frac{1}{8}} \cdot (2^3)^{-\frac{5}{6}} \cdot (2^2)^{\frac{3}{2}}$. Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим каждый множитель: $2^{4 \cdot \frac{1}{8}} \cdot 2^{3 \cdot (-\frac{5}{6})} \cdot 2^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 2^{\frac{4}{8}} \cdot 2^{-\frac{15}{6}} \cdot 2^3 = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{5}{2}} \cdot 2^3$. Теперь, используя свойство $a^m a^n = a^{m+n}$, сложим показатели: $2^{\frac{1}{2} - \frac{5}{2} + 3} = 2^{-\frac{4}{2} + 3} = 2^{-2+3} = 2^1 = 2$. Ответ: 2

5) Рассмотрим выражение $\frac{10000^{0,4} \cdot 10^{0,5}}{100^{0,3} \cdot 1000^{\frac{1}{6}}}$. Представим все основания в виде степени числа 10: $10000 = 10^4$, $100 = 10^2$, $1000 = 10^3$. Подставим эти значения в выражение: $\frac{(10^4)^{0,4} \cdot 10^{0,5}}{(10^2)^{0,3} \cdot (10^3)^{\frac{1}{6}}}$. Применим свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $\frac{10^{4 \cdot 0,4} \cdot 10^{0,5}}{10^{2 \cdot 0,3} \cdot 10^{3 \cdot \frac{1}{6}}} = \frac{10^{1,6} \cdot 10^{0,5}}{10^{0,6} \cdot 10^{0,5}}$. Используя свойство $a^m a^n = a^{m+n}$ в числителе и знаменателе: $\frac{10^{1,6+0,5}}{10^{0,6+0,5}} = \frac{10^{2,1}}{10^{1,1}}$. Используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $10^{2,1-1,1} = 10^1 = 10$. Ответ: 10

6) Рассмотрим выражение $\frac{5^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{12}}}{9^{\frac{1}{6}}} \cdot \frac{8^{\frac{1}{4}}}{5^{\frac{5}{2}} \cdot 9^{\frac{1}{3}}}$. Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями: $\frac{5^{\frac{3}{2}}}{5^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{8^{\frac{1}{12}} \cdot 8^{\frac{1}{4}}}{1} \cdot \frac{1}{9^{\frac{1}{6}} \cdot 9^{\frac{1}{3}}}$. Применим свойства степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и $a^m a^n = a^{m+n}$: Для основания 5: $5^{\frac{3}{2}-\frac{5}{2}} = 5^{-\frac{2}{2}} = 5^{-1}$. Для основания 8: $8^{\frac{1}{12}+\frac{1}{4}} = 8^{\frac{1}{12}+\frac{3}{12}} = 8^{\frac{4}{12}} = 8^{\frac{1}{3}}$. Для основания 9: $\frac{1}{9^{\frac{1}{6}+\frac{1}{3}}} = \frac{1}{9^{\frac{1}{6}+\frac{2}{6}}} = \frac{1}{9^{\frac{3}{6}}} = \frac{1}{9^{\frac{1}{2}}} = 9^{-\frac{1}{2}}$. Перемножим полученные результаты: $5^{-1} \cdot 8^{\frac{1}{3}} \cdot 9^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{5} \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{5} \cdot 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$. Ответ: $\frac{2}{15}$

7) Рассмотрим выражение $(72^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{4}{3}} : 36^{-\frac{1}{6}}$. Заменим деление на умножение на обратное число: $(72^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{-\frac{4}{3}} \cdot 36^{\frac{1}{6}}$. Упростим первый множитель: $(72^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} = 72^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} = 72^{\frac{1}{3}}$. Разложим основания 72 и 36 на простые множители: $72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$ и $36=6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2$. Выражение примет вид: $(2^3 \cdot 3^2)^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{4}{3}} \cdot (2^2 \cdot 3^2)^{\frac{1}{6}}$. Раскроем скобки: $(2^3)^{\frac{1}{3}} \cdot (3^2)^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{-\frac{4}{3}} \cdot (2^2)^{\frac{1}{6}} \cdot (3^2)^{\frac{1}{6}} = 2^1 \cdot 3^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{4}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{6}} \cdot 3^{\frac{2}{6}} = 2^1 \cdot 3^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{4}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}$. Сгруппируем множители по основаниям: $(2^{1} \cdot 2^{-\frac{4}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}) \cdot (3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}) = 2^{1-\frac{4}{3}+\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} = 2^{1-\frac{3}{3}} \cdot 3^{\frac{3}{3}} = 2^{1-1} \cdot 3^1 = 2^0 \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3$. Ответ: 3

8) Рассмотрим выражение $\left(\frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot 7^{\frac{5}{6}}}{21^{-1} \cdot 5^3}\right)^{-6}$. Сначала упростим выражение в числителе: $3^{\frac{5}{6}} \cdot 7^{\frac{5}{6}} = (3 \cdot 7)^{\frac{5}{6}} = 21^{\frac{5}{6}}$. Выражение в скобках принимает вид: $\frac{21^{\frac{5}{6}}}{21^{-1} \cdot 5^3}$. Упростим дробь, работая с основанием 21: $\frac{21^{\frac{5}{6}}}{21^{-1}} = 21^{\frac{5}{6}-(-1)} = 21^{\frac{5}{6}+1} = 21^{\frac{11}{6}}$. Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{21^{\frac{11}{6}}}{5^3}$. Теперь возведем это выражение в степень -6: $\left(\frac{21^{\frac{11}{6}}}{5^3}\right)^{-6}$. Используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем: $\left(\frac{5^3}{21^{\frac{11}{6}}}\right)^{6}$. Возводим в степень числитель и знаменатель по отдельности, используя $(a^m)^n=a^{mn}$: $\frac{(5^3)^6}{(21^{\frac{11}{6}})^6} = \frac{5^{3 \cdot 6}}{21^{\frac{11}{6} \cdot 6}} = \frac{5^{18}}{21^{11}}$. Ответ: $\frac{5^{18}}{21^{11}}$

10.16. Найдите значение выражения:

1) $ \left( 343^{\frac{1}{2}} \cdot \left( \frac{1}{49} \right)^{\frac{3}{8}} \right)^{\frac{4}{3}} $ ;

2) $ 10^{\frac{1}{4}} \cdot 40^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} $ ;

3) $ 0,0016^{-\frac{3}{4}} - 0,04^{-\frac{1}{2}} + 0,216^{\frac{2}{3}} $ ;

4) $ \frac{32^{0,24} \cdot 4^{0,7}}{64^{0,6} \cdot 16^{0,25}} $ ;

5) $ \frac{12^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{-\frac{1}{6}}} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{8^{\frac{1}{2}}} $ ;

6) $ \left( \frac{5^{-\frac{2}{3}} \cdot 3^{-\frac{2}{3}}}{15^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{16}{3}}} \right)^{-1,5} $ .

1) Исходное выражение: $\left(343^{\frac{1}{2}} \cdot \left(\frac{1}{49}\right)^{\frac{3}{8}}\right)^{\frac{4}{3}}$. Представим числа 343 и 49 в виде степеней числа 7: $343 = 7^3$ и $49 = 7^2$. Тогда выражение примет вид: $\left(\left(7^3\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left(\frac{1}{7^2}\right)^{\frac{3}{8}}\right)^{\frac{4}{3}}$. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, упростим выражение: $\left(7^{3 \cdot \frac{1}{2}} \cdot \left(7^{-2}\right)^{\frac{3}{8}}\right)^{\frac{4}{3}} = \left(7^{\frac{3}{2}} \cdot 7^{-2 \cdot \frac{3}{8}}\right)^{\frac{4}{3}} = \left(7^{\frac{3}{2}} \cdot 7^{-\frac{6}{8}}\right)^{\frac{4}{3}} = \left(7^{\frac{3}{2}} \cdot 7^{-\frac{3}{4}}\right)^{\frac{4}{3}}$. Применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $\left(7^{\frac{3}{2} - \frac{3}{4}}\right)^{\frac{4}{3}} = \left(7^{\frac{6}{4} - \frac{3}{4}}\right)^{\frac{4}{3}} = \left(7^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{4}{3}}$. Снова применим свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $7^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 7^1 = 7$. Ответ: 7.

2) $10^{\frac{1}{4}} \cdot 40^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}$. Сгруппируем первые два множителя, используя свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$: $(10 \cdot 40)^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 400^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}$. Представим 400 как $20^2$: $(20^2)^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 20^{2 \cdot \frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 20^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}$. Снова применим свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$: $(20 \cdot 5)^{\frac{1}{2}} = 100^{\frac{1}{2}} = \sqrt{100} = 10$. Ответ: 10.

3) $0,0016^{-\frac{3}{4}} - 0,04^{-\frac{1}{2}} + 0,216^{-\frac{2}{3}}$. Переведем десятичные дроби в степени: $0,0016 = (0,2)^4$; $0,04 = (0,2)^2$; $0,216 = (0,6)^3$. Подставим в выражение: $((0,2)^4)^{-\frac{3}{4}} - ((0,2)^2)^{-\frac{1}{2}} + ((0,6)^3)^{-\frac{2}{3}}$. Упростим степени, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $(0,2)^{-3} - (0,2)^{-1} + (0,6)^{-2}$. Вычислим каждое слагаемое: $(0,2)^{-3} = \left(\frac{2}{10}\right)^{-3} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-3} = 5^3 = 125$. $(0,2)^{-1} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = 5^1 = 5$. $(0,6)^{-2} = \left(\frac{6}{10}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}$. Выполним действия: $125 - 5 + \frac{25}{9} = 120 + \frac{25}{9} = 120 + 2\frac{7}{9} = 122\frac{7}{9}$. Ответ: $122\frac{7}{9}$.

4) $\frac{32^{0,24} \cdot 4^{0,7}}{64^{0,6} \cdot 16^{0,25}}$. Приведем все основания степеней к 2: $32 = 2^5$, $4 = 2^2$, $64 = 2^6$, $16 = 2^4$. Подставим в выражение: $\frac{(2^5)^{0,24} \cdot (2^2)^{0,7}}{(2^6)^{0,6} \cdot (2^4)^{0,25}}$. Используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $\frac{2^{5 \cdot 0,24} \cdot 2^{2 \cdot 0,7}}{2^{6 \cdot 0,6} \cdot 2^{4 \cdot 0,25}} = \frac{2^{1,2} \cdot 2^{1,4}}{2^{3,6} \cdot 2^{1}}$. Используем свойства $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $\frac{2^{1,2+1,4}}{2^{3,6+1}} = \frac{2^{2,6}}{2^{4,6}} = 2^{2,6 - 4,6} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0,25$. Ответ: 0,25.

5) $\frac{12^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{-\frac{1}{6}}} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{8^{\frac{1}{2}}}$. Объединим дроби и сгруппируем множители с одинаковыми основаниями: $\frac{12^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{-\frac{1}{6}} \cdot 8^{\frac{1}{2}}} = \frac{(12 \cdot 3)^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{-\frac{1}{6} + \frac{1}{2}}}$. Упростим числитель и знаменатель: $\frac{36^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{\frac{-1+3}{6}}} = \frac{6 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{\frac{2}{6}}} = \frac{6 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{\frac{1}{3}}}$. Применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и вычислим значение: $6 \cdot 7^{\frac{5}{3} - \frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{8^{\frac{1}{3}}} = 6 \cdot 7^{\frac{3}{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{8}} = 6 \cdot 7^1 \cdot \frac{1}{2}$. Вычислим результат: $\frac{6 \cdot 7}{2} = \frac{42}{2} = 21$. Ответ: 21.

6) $\left(\frac{5^{-\frac{2}{3}} \cdot 3^{-\frac{2}{3}}}{15^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{16}{3}}}\right)^{-1,5}$. Сначала упростим выражение в числителе скобок: $5^{-\frac{2}{3}} \cdot 3^{-\frac{2}{3}} = (5 \cdot 3)^{-\frac{2}{3}} = 15^{-\frac{2}{3}}$. Выражение в скобках примет вид: $\frac{15^{-\frac{2}{3}}}{15^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{16}{3}}}$. Упростим дробь, работая с одинаковыми основаниями: $\frac{15^{-\frac{2}{3}}}{15^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{2^{-\frac{16}{3}}} = 15^{-\frac{2}{3} - \frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{16}{3}} = 15^{-\frac{4}{3}} \cdot 2^{\frac{16}{3}}$. Теперь возведем полученное выражение в степень $-1,5 = -\frac{3}{2}$: $\left(15^{-\frac{4}{3}} \cdot 2^{\frac{16}{3}}\right)^{-\frac{3}{2}} = (15^{-\frac{4}{3}})^{-\frac{3}{2}} \cdot (2^{\frac{16}{3}})^{-\frac{3}{2}}$. Применим свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $15^{(-\frac{4}{3}) \cdot (-\frac{3}{2})} \cdot 2^{(\frac{16}{3}) \cdot (-\frac{3}{2})} = 15^{\frac{12}{6}} \cdot 2^{-\frac{48}{6}} = 15^2 \cdot 2^{-8}$. Вычислим конечный результат: $225 \cdot \frac{1}{2^8} = \frac{225}{256}$. Ответ: $\frac{225}{256}$.