Страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.7. Решите уравнение:

1) $\sqrt{10 - 3x} = -x$;

2) $x = \sqrt{x + 5} + 1$;

3) $\sqrt{2x^2 + 5x + 4} = 2x + 2;$

4) $3\sqrt{x + 10} - 11 = 2x$;

5) $x - \sqrt{3x^2 - 11x - 20} = 5.$

1) $\sqrt{10-3x} = -x$

Для решения иррационального уравнения необходимо определить область допустимых значений (ОДЗ), а затем возвести обе части в квадрат. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения тоже, так как она равна значению арифметического квадратного корня.

ОДЗ:

$ \begin{cases} 10 - 3x \ge 0 \\ -x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} -3x \ge -10 \\ x \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le \frac{10}{3} \\ x \le 0 \end{cases} \implies x \le 0 $

Теперь возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$(\sqrt{10-3x})^2 = (-x)^2$

$10 - 3x = x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 3x - 10 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 7}{2}$

$x_1 = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \le 0$):

Корень $x_1 = -5$ удовлетворяет условию $x \le 0$.

Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет условию $x \le 0$, следовательно, является посторонним.

Ответ: -5

2) $x = \sqrt{x+5} + 1$

Сначала уединим радикал в одной части уравнения:

$x - 1 = \sqrt{x+5}$

Определим ОДЗ. Подкоренное выражение и выражение, равное корню, должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} x + 5 \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ x \ge 1 \end{cases} \implies x \ge 1 $

Возведем обе части уравнения $x-1 = \sqrt{x+5}$ в квадрат:

$(x-1)^2 = (\sqrt{x+5})^2$

$x^2 - 2x + 1 = x + 5$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -4. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$. Либо через дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$

$x_{1,2} = \frac{3 \pm 5}{2}$

$x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4$

$x_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 1$):

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию, это посторонний корень.

Ответ: 4

3) $\sqrt{2x^2+5x+4} = 2x+2$

Определим ОДЗ. Выражение в правой части должно быть неотрицательным:

$2x+2 \ge 0 \implies 2x \ge -2 \implies x \ge -1$

Проверим подкоренное выражение $2x^2+5x+4$. Дискриминант этого трехчлена: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 25 - 32 = -7$. Так как $D < 0$, а старший коэффициент ($2 > 0$), то выражение $2x^2+5x+4$ всегда положительно. Таким образом, ОДЗ определяется только условием $x \ge -1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x^2+5x+4})^2 = (2x+2)^2$

$2x^2+5x+4 = 4x^2 + 8x + 4$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = 2x^2 + 3x$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(2x+3) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$ или $2x+3 = 0 \implies x_2 = -1.5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -1$):

Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию.

Корень $x_2 = -1.5$ не удовлетворяет условию, является посторонним.

Ответ: 0

4) $3\sqrt{x+10} - 11 = 2x$

Уединим радикал:

$3\sqrt{x+10} = 2x + 11$

Определим ОДЗ:

$ \begin{cases} x + 10 \ge 0 \\ 2x + 11 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -10 \\ x \ge -5.5 \end{cases} \implies x \ge -5.5 $

Возведем обе части уравнения $3\sqrt{x+10} = 2x+11$ в квадрат:

$(3\sqrt{x+10})^2 = (2x+11)^2$

$9(x+10) = 4x^2 + 44x + 121$

$9x + 90 = 4x^2 + 44x + 121$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$4x^2 + 35x + 31 = 0$

Решим через дискриминант:

$D = 35^2 - 4 \cdot 4 \cdot 31 = 1225 - 496 = 729 = 27^2$

$x_{1,2} = \frac{-35 \pm 27}{8}$

$x_1 = \frac{-35 - 27}{8} = \frac{-62}{8} = -\frac{31}{4} = -7.75$

$x_2 = \frac{-35 + 27}{8} = \frac{-8}{8} = -1$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -5.5$):

Корень $x_1 = -7.75$ не удовлетворяет условию.

Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет условию.

Ответ: -1

5) $x - \sqrt{3x^2-11x-20} = 5$

Уединим радикал:

$x - 5 = \sqrt{3x^2-11x-20}$

Определим ОДЗ. Левая часть уравнения должна быть неотрицательной:

$x - 5 \ge 0 \implies x \ge 5$

Также проверим подкоренное выражение $3x^2-11x-20 \ge 0$. Найдем корни трехчлена $3x^2-11x-20 = 0$:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 121 + 240 = 361 = 19^2$

$x_{1,2} = \frac{11 \pm 19}{6} \implies x_1 = -\frac{4}{3}, x_2 = 5$

Неравенство $3x^2-11x-20 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -4/3] \cup [5; +\infty)$.

Пересекая это условие с $x \ge 5$, получаем итоговое ОДЗ: $x \ge 5$.

Возведем обе части уравнения $x-5 = \sqrt{3x^2-11x-20}$ в квадрат:

$(x-5)^2 = 3x^2 - 11x - 20$

$x^2 - 10x + 25 = 3x^2 - 11x - 20$

Приведем к стандартному виду:

$2x^2 - x - 45 = 0$

Решим через дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-45) = 1 + 360 = 361 = 19^2$

$x_{1,2} = \frac{1 \pm 19}{4}$

$x_1 = \frac{1 - 19}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5$

$x_2 = \frac{1 + 19}{4} = \frac{20}{4} = 5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 5$):

Корень $x_1 = -4.5$ не удовлетворяет условию.

Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию.

Ответ: 5

11.8. Решите уравнение:

1) $\sqrt{(2x+3)(x-4)} = x-4;$

2) $\sqrt{(x-2)(2x-5)} + 2 = x;$

3) $(x+2)\sqrt{x^2-x-20} = 6x+12;$

4) $(x+1)\sqrt{x^2-5x+5} = x+1.$

1) $\sqrt{(2x + 3)(x - 4)} = x - 4$

Данное иррациональное уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе, состоящей из уравнения $f(x) = g(x)^2$ и неравенства $g(x) \ge 0$.

$\begin{cases} (2x + 3)(x - 4) = (x - 4)^2, \\ x - 4 \ge 0. \end{cases}$

Сначала решим первое уравнение системы:

$(2x + 3)(x - 4) - (x - 4)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 4)$ за скобки:

$(x - 4)((2x + 3) - (x - 4)) = 0$

$(x - 4)(2x + 3 - x + 4) = 0$

$(x - 4)(x + 7) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -7$.

Теперь необходимо проверить эти корни на соответствие второму условию системы: $x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$.

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию, так как $4 \ge 4$ (верное неравенство).

Корень $x_2 = -7$ не удовлетворяет условию, так как $-7 \ge 4$ (неверное неравенство). Этот корень является посторонним.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $4$.

2) $\sqrt{(x - 2)(2x - 5)} + 2 = x$

Для начала изолируем радикал, перенеся 2 в правую часть уравнения:

$\sqrt{(x - 2)(2x - 5)} = x - 2$

Данное уравнение, как и предыдущее, равносильно системе:

$\begin{cases} (x - 2)(2x - 5) = (x - 2)^2, \\ x - 2 \ge 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$(x - 2)(2x - 5) - (x - 2)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2)((2x - 5) - (x - 2)) = 0$

$(x - 2)(2x - 5 - x + 2) = 0$

$(x - 2)(x - 3) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Проверим оба корня по условию $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию, так как $2 \ge 2$ (верно).

Корень $x_2 = 3$ также удовлетворяет условию, так как $3 \ge 2$ (верно).

Следовательно, оба значения являются корнями исходного уравнения.

Ответ: $2; 3$.

3) $(x + 2)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6x + 12$

Преобразуем правую часть уравнения, вынеся 6 за скобки: $6x + 12 = 6(x + 2)$.

$(x + 2)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6(x + 2)$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $(x + 2)$:

$(x + 2)\sqrt{x^2 - x - 20} - 6(x + 2) = 0$

$(x + 2)(\sqrt{x^2 - x - 20} - 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Прежде чем рассматривать каждый случай, найдем область допустимых значений (ОДЗ) из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

ОДЗ: $x^2 - x - 20 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 20 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$, $x_2 = -4$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -4] \cup [5, \infty)$.

Теперь рассмотрим два случая:

1. $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$. Этот корень не входит в ОДЗ, так как $-4 < -2 < 5$. Следовательно, $x = -2$ не является решением.

2. $\sqrt{x^2 - x - 20} - 6 = 0 \Rightarrow \sqrt{x^2 - x - 20} = 6$.

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 - x - 20 = 36$

$x^2 - x - 56 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 8$ и $x_2 = -7$.

Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ.

Корень $x_1 = 8$ входит в ОДЗ, так как $8 \in [5, \infty)$.

Корень $x_2 = -7$ входит в ОДЗ, так как $-7 \in (-\infty, -4]$.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $-7; 8$.

4) $(x + 1)\sqrt{x^2 - 5x + 5} = x + 1$

Перенесем правую часть налево и вынесем общий множитель $(x + 1)$:

$(x + 1)\sqrt{x^2 - 5x + 5} - (x + 1) = 0$

$(x + 1)(\sqrt{x^2 - 5x + 5} - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Найдем ОДЗ.

ОДЗ: $x^2 - 5x + 5 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 5 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 25 - 20 = 5$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{5 - \sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{5 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$.

Рассмотрим два случая:

1. $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.

Проверим, входит ли $x = -1$ в ОДЗ. Так как $\sqrt{5} \approx 2.236$, то $\frac{5 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{5 - 2.236}{2} \approx 1.382$. Поскольку $-1 \le 1.382$, корень $x=-1$ входит в ОДЗ. Проверкой убеждаемся, что он является решением: $( -1 + 1)\sqrt{(-1)^2 - 5(-1) + 5} = -1 + 1 \Rightarrow 0=0$.

2. $\sqrt{x^2 - 5x + 5} - 1 = 0 \Rightarrow \sqrt{x^2 - 5x + 5} = 1$.

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 - 5x + 5 = 1$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ.

Для $x=1$: $1 \le \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \approx 1.382$, значит корень $x=1$ входит в ОДЗ.

Для $x=4$: $4 \ge \frac{5 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{5 + 2.236}{2} \approx 3.618$, значит корень $x=4$ входит в ОДЗ.

Таким образом, все три найденных значения являются корнями уравнения.

Ответ: $-1; 1; 4$.

11.9. Решите уравнение:

1) $\sqrt{(3x - 1)(4x + 3)} = 3x - 1;$

2) $(x - 1)\sqrt{x^2 - 3x - 3} = 5x - 5.$

Решим уравнение $\sqrt{(3x - 1)(4x + 3)} = 3x - 1$.

Данное иррациональное уравнение вида $\sqrt{A} = B$ равносильно системе, в которой правая часть неотрицательна, а подкоренное выражение равно квадрату правой части:

$\begin{cases} 3x - 1 \ge 0 \\ (3x - 1)(4x + 3) = (3x - 1)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства системы получаем условие, которому должны удовлетворять корни: $3x \ge 1 \Rightarrow x \ge 1/3$.

Теперь решим второе уравнение системы. Перенесем все члены в левую часть:

$(3x - 1)(4x + 3) - (3x - 1)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(3x - 1)$ за скобки:

$(3x - 1)((4x + 3) - (3x - 1)) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(3x - 1)(4x + 3 - 3x + 1) = 0$

$(3x - 1)(x + 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных корня:

$3x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1/3$

$x + 4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4$

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 1/3$.

Корень $x_1 = 1/3$ удовлетворяет условию, так как $1/3 \ge 1/3$.

Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию, так как $-4 < 1/3$. Следовательно, $x = -4$ является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $1/3$.

Решим уравнение $(x - 1)\sqrt{x^2 - 3x - 3} = 5x - 5$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x^2 - 3x - 3 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x - 3 = 0$. Используем формулу для корней квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-3) = 9 + 12 = 21$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$.

Поскольку ветви параболы $y = x^2 - 3x - 3$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 3x - 3 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами корней. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{2}] \cup [\frac{3 + \sqrt{21}}{2}, \infty)$.

Теперь вернемся к исходному уравнению. Заметим, что правую часть можно разложить на множители: $5x - 5 = 5(x - 1)$.

$(x - 1)\sqrt{x^2 - 3x - 3} = 5(x - 1)$

Перенесем все члены в левую часть:

$(x - 1)\sqrt{x^2 - 3x - 3} - 5(x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x - 1)(\sqrt{x^2 - 3x - 3} - 5) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

Проверим, принадлежит ли этот корень ОДЗ. Подставим $x=1$ в выражение под корнем: $1^2 - 3(1) - 3 = 1 - 3 - 3 = -5$. Поскольку $-5 < 0$, значение $x=1$ не входит в ОДЗ и не является решением.

2) $\sqrt{x^2 - 3x - 3} - 5 = 0 \Rightarrow \sqrt{x^2 - 3x - 3} = 5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x^2 - 3x - 3 = 25$

$x^2 - 3x - 28 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $3$, а их произведение равно $-28$. Подбором находим корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -4$.

Проверим, принадлежат ли эти корни ОДЗ.

Для $x = 7$: $7^2 - 3(7) - 3 = 49 - 21 - 3 = 25$. Поскольку $25 \ge 0$, корень $x=7$ удовлетворяет ОДЗ.

Для $x = -4$: $(-4)^2 - 3(-4) - 3 = 16 + 12 - 3 = 25$. Поскольку $25 \ge 0$, корень $x=-4$ также удовлетворяет ОДЗ.

Следовательно, уравнение имеет два решения.

Ответ: $-4; 7$.

11.10. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $\sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{x^2} - 3 = 0$;

2) $\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} - 6 = 0$;

3) $2x - 7\sqrt{x} - 15 = 0$;

4) $\sqrt[3]{x} + 3\sqrt[6]{x} = 4$;

5) $2\sqrt{x + 1} - 5 = \frac{3}{\sqrt{x + 1}}$;

6) $x^2 - x + 9 + \sqrt{x^2 - x + 9} = 12$;

7) $\sqrt[3]{x^2 - 4x + 4} - 2\sqrt[3]{x - 2} - 3 = 0$;

8) $\frac{1}{\sqrt[4]{x - 1}} + \frac{3}{\sqrt[4]{x + 1}} = 2$;

9) $\sqrt{\frac{x + 5}{x - 1}} + 7\sqrt{\frac{x - 1}{x + 5}} = 8$;

10) $\frac{x\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x^2} - 1} - \frac{\sqrt[3]{x^2} - 1}{\sqrt[3]{x} + 1} = 4$.

1) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{x^2} - 3 = 0$.
Заметим, что $\sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2$. Перепишем уравнение в виде $2(\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} - 3 = 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt[3]{x}$. Тогда уравнение принимает вид квадратного уравнения:
$2t^2 + t - 3 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.
Корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.
Теперь выполним обратную замену:
1. Если $t = 1$, то $\sqrt[3]{x} = 1$, откуда $x = 1^3 = 1$.2. Если $t = -3/2$, то $\sqrt[3]{x} = -3/2$, откуда $x = (-\frac{3}{2})^3 = -\frac{27}{8}$.
Оба корня являются действительными.
Ответ: $1; -\frac{27}{8}$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} - 6 = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$.
Заметим, что $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt[4]{x}$. Учитывая ОДЗ, $t \ge 0$.
Уравнение принимает вид: $t^2 + t - 6 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -3$.
Проверим условие $t \ge 0$. Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет этому условию.
Остается один корень: $t = 2$.
Выполним обратную замену: $\sqrt[4]{x} = 2$.
Возведем обе части в четвертую степень: $x = 2^4 = 16$.
Корень $x = 16$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $16$.

3) Исходное уравнение: $2x - 7\sqrt{x} - 15 = 0$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Заметим, что $x = (\sqrt{x})^2$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt{x}$. Учитывая ОДЗ, $t \ge 0$.
Уравнение принимает вид: $2t^2 - 7t - 15 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 49 + 120 = 169 = 13^2$.
Корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{7 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5$.
$t_2 = \frac{7 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1.5$.
Корень $t_2 = -1.5$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Остается $t = 5$.
Выполним обратную замену: $\sqrt{x} = 5$.
Возведем обе части в квадрат: $x = 5^2 = 25$.
Корень $x = 25$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $25$.

4) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{x} + 3\sqrt[6]{x} = 4$.
ОДЗ: $x \ge 0$ (из-за корня шестой степени).
Заметим, что $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2$. Перепишем уравнение: $(\sqrt[6]{x})^2 + 3\sqrt[6]{x} - 4 = 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Учитывая ОДЗ, $t \ge 0$.
Уравнение принимает вид: $t^2 + 3t - 4 = 0$.
По теореме Виета, корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -4$.
Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Остается $t = 1$.
Выполним обратную замену: $\sqrt[6]{x} = 1$.
Возведем обе части в шестую степень: $x = 1^6 = 1$.
Корень $x = 1$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $1$.

5) Исходное уравнение: $2\sqrt{x+1} - 5 = \frac{3}{\sqrt{x+1}}$.
ОДЗ: $x+1 > 0$, так как выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю. Отсюда $x > -1$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt{x+1}$. Учитывая ОДЗ, $t > 0$.
Уравнение принимает вид: $2t - 5 = \frac{3}{t}$.
Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$): $2t^2 - 5t = 3$, или $2t^2 - 5t - 3 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
Корни для $t$:
$t_1 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$.
$t_2 = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$.
Корень $t_2 = -0.5$ не удовлетворяет условию $t > 0$.
Остается $t=3$.
Выполним обратную замену: $\sqrt{x+1} = 3$.
Возведем обе части в квадрат: $x+1 = 9$, откуда $x = 8$.
Корень $x=8$ удовлетворяет ОДЗ ($8 > -1$).
Ответ: $8$.

6) Исходное уравнение: $x^2 - x + 9 + \sqrt{x^2 - x + 9} = 12$.
Выражение под корнем $x^2 - x + 9$ всегда положительно, так как его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = -35 < 0$, а старший коэффициент положителен. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt{x^2 - x + 9}$. Тогда $t > 0$. Также $x^2 - x + 9 = t^2$.
Уравнение принимает вид: $t^2 + t = 12$, или $t^2 + t - 12 = 0$.
По теореме Виета, корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -4$.
Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t > 0$.
Остается $t = 3$.
Выполним обратную замену: $\sqrt{x^2 - x + 9} = 3$.
Возведем обе части в квадрат: $x^2 - x + 9 = 9$.
$x^2 - x = 0$.
$x(x-1) = 0$.
Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 =

11.11. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $x - \sqrt{x} - 12 = 0;$

2) $\sqrt[3]{x^2} + 8 = 9\sqrt[3]{x};$

3) $\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}} = 1;$

4) $\sqrt{x+5} - 3\sqrt[4]{x+5} + 2 = 0;$

5) $\frac{1}{\sqrt[3]{x}+1} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}+3} = 1;$

6) $\sqrt[6]{9-6x+x^2} + 2\sqrt[6]{3-x} - 8 = 0;$

7) $x^2 - x + 4 + \sqrt{x^2-x+4} = 6;$

8) $\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}} + \sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}} = 2.5;$

1) $x - \sqrt{x} - 12 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$.

Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как корень арифметический, $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$. Подставим в уравнение:

$t^2 - t - 12 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -3$.

Так как $t \ge 0$, корень $t_2 = -3$ является посторонним. Остается $t = 4$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x} = 4$

Возведем обе части в квадрат:

$x = 16$

Корень $x=16$ удовлетворяет ОДЗ ($16 \ge 0$).

Ответ: 16.

2) $\sqrt[3]{x^2} + 8 = 9\sqrt[3]{x}$

Перенесем все члены в левую часть: $\sqrt[3]{x^2} - 9\sqrt[3]{x} + 8 = 0$. ОДЗ: $x \in R$.

Пусть $t = \sqrt[3]{x}$. Тогда $\sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2 = t^2$. Уравнение принимает вид:

$t^2 - 9t + 8 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 8$.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1) $\sqrt[3]{x} = 1 \implies x = 1^3 = 1$

2) $\sqrt[3]{x} = 8 \implies x = 8^3 = 512$

Ответ: 1; 512.

3) $\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}} = 1$

ОДЗ: подкоренное выражение неотрицательно, а знаменатель не равен нулю, следовательно $x > 0$.

Пусть $t = \sqrt{x}$. Учитывая ОДЗ, $t > 0$. Подставляем в уравнение:

$t - \frac{2}{t} = 1$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \ne 0$):

$t^2 - 2 = t$

$t^2 - t - 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$. Остается $t = 2$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x} = 2$

$x = 4$

Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 > 0$).

Ответ: 4.

4) $\sqrt{x+5} - 3\sqrt[4]{x+5} + 2 = 0$

ОДЗ: $x+5 \ge 0 \implies x \ge -5$.

Заметим, что $\sqrt{x+5} = (\sqrt[4]{x+5})^2$. Пусть $t = \sqrt[4]{x+5}$, тогда $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$. Оба корня неотрицательны.

Выполним обратную замену:

1) $\sqrt[4]{x+5} = 1 \implies x+5 = 1^4 \implies x+5=1 \implies x = -4$

2) $\sqrt[4]{x+5} = 2 \implies x+5 = 2^4 \implies x+5=16 \implies x = 11$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge -5$).

Ответ: -4; 11.

5) $\frac{1}{\sqrt[3]{x}+1} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}+3} = 1$

ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю. $\sqrt[3]{x}+1 \ne 0 \implies x \ne -1$ и $\sqrt[3]{x}+3 \ne 0 \implies x \ne -27$.

Пусть $t = \sqrt[3]{x}$. Тогда $t \ne -1$ и $t \ne -3$. Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{t+1} + \frac{2}{t+3} = 1$

Приведем к общему знаменателю и решим уравнение:

$\frac{t+3 + 2(t+1)}{(t+1)(t+3)} = 1$

$t+3+2t+2 = (t+1)(t+3)$

$3t+5 = t^2+4t+3$

$t^2+t-2=0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1=1$ и $t_2=-2$. Оба корня не совпадают с ограничениями $t \ne -1$ и $t \ne -3$.

Выполним обратную замену:

1) $\sqrt[3]{x} = 1 \implies x = 1^3 = 1$

2) $\sqrt[3]{x} = -2 \implies x = (-2)^3 = -8$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -8; 1.

6) $\sqrt[6]{9-6x+x^2} + 2\sqrt[6]{3-x} - 8 = 0$

ОДЗ: $3-x \ge 0 \implies x \le 3$. Выражение $9-6x+x^2 = (3-x)^2$ всегда неотрицательно.

Заметим, что $\sqrt[6]{9-6x+x^2} = \sqrt[6]{(3-x)^2} = \sqrt[3]{|3-x|}$. Так как по ОДЗ $3-x \ge 0$, то $|3-x| = 3-x$.

Уравнение можно переписать как: $\sqrt[3]{3-x} + 2\sqrt[6]{3-x} - 8 = 0$.

Пусть $t = \sqrt[6]{3-x}$, тогда $t \ge 0$. Заметим, что $\sqrt[3]{3-x} = (\sqrt[6]{3-x})^2 = t^2$.

Получаем уравнение:

$t^2 + 2t - 8 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1=2$ и $t_2=-4$.

Корень $t_2=-4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$. Остается $t=2$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt[6]{3-x} = 2$

$3-x = 2^6 \implies 3-x = 64 \implies x = 3-64 = -61$

Корень $x=-61$ удовлетворяет ОДЗ ($x \le 3$).

Ответ: -61.

7) $x^2 - x + 4 + \sqrt{x^2 - x + 4} = 6$

ОДЗ: $x^2 - x + 4 \ge 0$. Дискриминант этого трехчлена $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -15 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, выражение $x^2 - x + 4$ всегда положительно. ОДЗ: $x \in R$.

Пусть $t = \sqrt{x^2 - x + 4}$. Тогда $t > 0$. Заметим, что $x^2 - x + 4 = t^2$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 + t = 6$

$t^2 + t - 6 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -3$.

Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t > 0$. Остается $t=2$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x^2 - x + 4} = 2$

Возведем в квадрат обе части:

$x^2 - x + 4 = 4$

$x^2 - x = 0$

$x(x-1) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Ответ: 0; 1.

8) $\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}} + \sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}} = 2,5$

ОДЗ: выражения под корнями должны быть неотрицательны, а знаменатели дробей не равны нулю. Это выполняется, когда $\frac{3x+2}{2x-3} > 0$. Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in (-\infty; -2/3) \cup (3/2; +\infty)$.

Пусть $t = \sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}$. Тогда $t > 0$. Второй член уравнения является $\frac{1}{t}$.

Уравнение принимает вид:

$t + \frac{1}{t} = 2,5$

$t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$

Умножим на $2t$ (так как $t \ne 0$):

$2t^2 + 2 = 5t$

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$t_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Оба корня положительны и подходят.

Выполним обратную замену:

1) $\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}} = \frac{1}{2} \implies \frac{3x+2}{2x-3} = \frac{1}{4} \implies 4(3x+2) = 2x-3 \implies 12x+8=2x-3 \implies 10x=-11 \implies x = -1,1$.

2) $\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}} = 2 \implies \frac{3x+2}{2x-3} = 4 \implies 3x+2 = 4(2x-3) \implies 3x+2 = 8x-12 \implies 14=5x \implies x = 2,8$.

Проверим корни по ОДЗ: $x = -1,1$ входит в интервал $(-\infty; -2/3)$. $x = 2,8$ входит в интервал $(3/2; +\infty)$. Оба корня подходят.

Ответ: -1,1; 2,8.

11.12. Решите уравнение:

1) $\sqrt{1 + x\sqrt{x^2 + 24}} = x + 1;$

2) $\sqrt{1 + x\sqrt{x^2 - 24}} = x - 1.$

1) Решим уравнение $ \sqrt{1 + x\sqrt{x^2 + 24}} = x + 1 $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня:
$ x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1 $.
Выражение под внутренним корнем $ x^2 + 24 $ всегда положительно при любом $x$. Выражение под внешним корнем $ 1 + x\sqrt{x^2 + 24} $ должно быть неотрицательным, это условие мы проверим для найденных корней.

При условии $ x \ge -1 $ возведем обе части уравнения в квадрат:
$ (\sqrt{1 + x\sqrt{x^2 + 24}})^2 = (x + 1)^2 $
$ 1 + x\sqrt{x^2 + 24} = x^2 + 2x + 1 $
Вычтем 1 из обеих частей:
$ x\sqrt{x^2 + 24} = x^2 + 2x $
$ x\sqrt{x^2 + 24} = x(x + 2) $

Рассмотрим два возможных случая.
Случай 1: $ x = 0 $.
Подставим $ x = 0 $ в исходное уравнение для проверки:
$ \sqrt{1 + 0 \cdot \sqrt{0^2 + 24}} = 0 + 1 $
$ \sqrt{1} = 1 $
$ 1 = 1 $
Равенство верное, и $ x=0 $ удовлетворяет условию $ x \ge -1 $. Следовательно, $ x = 0 $ — корень уравнения.

Случай 2: $ x \neq 0 $.
Разделим обе части уравнения $ x\sqrt{x^2 + 24} = x(x + 2) $ на $x$:
$ \sqrt{x^2 + 24} = x + 2 $
Правая часть нового уравнения также должна быть неотрицательной: $ x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2 $. Учитывая первоначальное ограничение $ x \ge -1 $, мы ищем решения при $ x \ge -1 $ (и $x \neq 0$).
Возведем обе части уравнения $ \sqrt{x^2 + 24} = x + 2 $ в квадрат:
$ x^2 + 24 = (x + 2)^2 $
$ x^2 + 24 = x^2 + 4x + 4 $
$ 24 - 4 = 4x $
$ 20 = 4x $
$ x = 5 $
Проверим найденное значение. $ x=5 $ удовлетворяет условию $ x \ge -1 $. Подставим в исходное уравнение:
$ \sqrt{1 + 5\sqrt{5^2 + 24}} = 5 + 1 $
$ \sqrt{1 + 5\sqrt{49}} = 6 $
$ \sqrt{1 + 5 \cdot 7} = 6 $
$ \sqrt{36} = 6 $
$ 6 = 6 $
Равенство верное, значит, $ x = 5 $ также является корнем.

Ответ: $0; 5$.

2) Решим уравнение $ \sqrt{1 + x\sqrt{x^2 - 24}} = x - 1 $.

Найдем ОДЗ. Должны выполняться следующие условия:
1. $ x^2 - 24 \ge 0 \implies x^2 \ge 24 \implies x \in (-\infty, -2\sqrt{6}] \cup [2\sqrt{6}, \infty) $.
2. $ x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1 $.
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $ x \ge 2\sqrt{6} $. (Так как $ 2\sqrt{6} \approx 4.9 $).

Возведем обе части уравнения в квадрат при $ x \ge 2\sqrt{6} $:
$ (\sqrt{1 + x\sqrt{x^2 - 24}})^2 = (x - 1)^2 $
$ 1 + x\sqrt{x^2 - 24} = x^2 - 2x + 1 $
Вычтем 1 из обеих частей:
$ x\sqrt{x^2 - 24} = x^2 - 2x $
$ x\sqrt{x^2 - 24} = x(x - 2) $

Поскольку $ x \ge 2\sqrt{6} $, то $ x \neq 0 $. Можем разделить обе части на $x$:
$ \sqrt{x^2 - 24} = x - 2 $
Условие неотрицательности правой части $ x - 2 \ge 0 $ (т.е. $x \ge 2$) выполняется, так как $ x \ge 2\sqrt{6} $.
Снова возведем в квадрат:
$ (\sqrt{x^2 - 24})^2 = (x - 2)^2 $
$ x^2 - 24 = x^2 - 4x + 4 $
$ -24 = -4x + 4 $
$ 4x = 28 $
$ x = 7 $

Проверим, удовлетворяет ли корень $ x = 7 $ ОДЗ $ x \ge 2\sqrt{6} $.
Сравним $ 7 $ и $ 2\sqrt{6} $. Возведем в квадрат: $ 7^2 = 49 $ и $ (2\sqrt{6})^2 = 24 $. Так как $ 49 > 24 $, то $ 7 > 2\sqrt{6} $. Корень входит в ОДЗ.
Подставим $ x=7 $ в исходное уравнение:
$ \sqrt{1 + 7\sqrt{7^2 - 24}} = 7 - 1 $
$ \sqrt{1 + 7\sqrt{49 - 24}} = 6 $
$ \sqrt{1 + 7\sqrt{25}} = 6 $
$ \sqrt{1 + 7 \cdot 5} = 6 $
$ \sqrt{36} = 6 $
$ 6 = 6 $
Равенство верное.

Ответ: $7$.