Страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.6. Решите уравнение:

1) $\sqrt{2x-4} - \sqrt{x+5} = 1;$

2) $\sqrt{x+11} - \sqrt{2x+1} = 2;$

3) $\sqrt{3x+1} + \sqrt{16-3x} = 5.$

1) $\sqrt{2x-4} - \sqrt{x+5} = 1$
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 2x-4 \ge 0 \\ x+5 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x \ge 4 \\ x \ge -5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge -5 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $x \ge 2$.

Перенесем один из радикалов в правую часть уравнения:
$\sqrt{2x-4} = 1 + \sqrt{x+5}$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{2x-4})^2 = (1 + \sqrt{x+5})^2$
$2x-4 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{x+5} + (\sqrt{x+5})^2$
$2x-4 = 1 + 2\sqrt{x+5} + x+5$

Приведем подобные слагаемые и уединим оставшийся корень:
$2x-4 = x + 6 + 2\sqrt{x+5}$
$2x - x - 4 - 6 = 2\sqrt{x+5}$
$x - 10 = 2\sqrt{x+5}$

Поскольку правая часть $2\sqrt{x+5}$ неотрицательна, левая часть также должна быть неотрицательной: $x-10 \ge 0$, то есть $x \ge 10$. Это условие сильнее, чем исходное ОДЗ.
Снова возведем обе части в квадрат:
$(x-10)^2 = (2\sqrt{x+5})^2$
$x^2 - 20x + 100 = 4(x+5)$
$x^2 - 20x + 100 = 4x + 20$

Получим квадратное уравнение:
$x^2 - 24x + 80 = 0$
Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 20$ и $x_2 = 4$.

Проверим корни на соответствие условию $x \ge 10$.
Корень $x_1 = 20$ удовлетворяет условию $20 \ge 10$.
Корень $x_2 = 4$ не удовлетворяет условию $4 \ge 10$, значит, это посторонний корень.
Проверка для $x=20$: $\sqrt{2(20)-4} - \sqrt{20+5} = \sqrt{36} - \sqrt{25} = 6 - 5 = 1$. Верно.
Ответ: $20$.

2) $\sqrt{x+11} - \sqrt{2x+1} = 2$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x+11 \ge 0 \\ 2x+1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -11 \\ x \ge -0.5 \end{cases}$
ОДЗ: $x \ge -0.5$.

Перенесем радикал в правую часть:
$\sqrt{x+11} = 2 + \sqrt{2x+1}$
Возведем обе части в квадрат:
$x+11 = 4 + 4\sqrt{2x+1} + (2x+1)$
$x+11 = 2x+5 + 4\sqrt{2x+1}$

Уединим корень:
$x - 2x + 11 - 5 = 4\sqrt{2x+1}$
$6-x = 4\sqrt{2x+1}$

Левая часть должна быть неотрицательной: $6-x \ge 0$, откуда $x \le 6$. С учетом ОДЗ получаем, что решение должно лежать в промежутке $[-0.5, 6]$.
Возведем обе части в квадрат:
$(6-x)^2 = (4\sqrt{2x+1})^2$
$36 - 12x + x^2 = 16(2x+1)$
$x^2 - 12x + 36 = 32x + 16$

Получим квадратное уравнение:
$x^2 - 44x + 20 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-44)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 1936 - 80 = 1856 = 64 \cdot 29$.
Корни уравнения: $x = \frac{44 \pm \sqrt{1856}}{2} = \frac{44 \pm 8\sqrt{29}}{2} = 22 \pm 4\sqrt{29}$.

$x_1 = 22 + 4\sqrt{29}$. Этот корень очевидно больше 6, поэтому он посторонний.
$x_2 = 22 - 4\sqrt{29}$. Оценим его: $5 < \sqrt{29} < 6$, значит $20 < 4\sqrt{29} < 24$. Тогда $22-24 < 22-4\sqrt{29} < 22-20$, то есть $-2 < x_2 < 2$. Этот корень входит в допустимый промежуток $[-0.5, 6]$.
Ответ: $22 - 4\sqrt{29}$.

3) $\sqrt{3x+1} + \sqrt{16-3x} = 5$
Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 3x+1 \ge 0 \\ 16-3x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x \ge -1 \\ 16 \ge 3x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -1/3 \\ x \le 16/3 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in [-1/3, 16/3]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{3x+1} + \sqrt{16-3x})^2 = 5^2$
$(3x+1) + 2\sqrt{(3x+1)(16-3x)} + (16-3x) = 25$
$3x$ и $-3x$ взаимно уничтожаются:
$17 + 2\sqrt{(3x+1)(16-3x)} = 25$

Уединим корень:
$2\sqrt{(3x+1)(16-3x)} = 8$
$\sqrt{(3x+1)(16-3x)} = 4$

Снова возведем в квадрат:
$(3x+1)(16-3x) = 16$
$48x - 9x^2 + 16 - 3x = 16$
$-9x^2 + 45x = 0$

Вынесем общий множитель $-9x$ за скобки:
$-9x(x-5) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.

Проверим, входят ли корни в ОДЗ $x \in [-1/3, 16/3]$.
$x_1 = 0$: $-1/3 \le 0 \le 16/3$. Корень подходит.
$x_2 = 5$: $16/3 = 5\frac{1}{3}$, поэтому $-1/3 \le 5 \le 16/3$. Корень подходит.
Оба корня являются решениями уравнения.
Ответ: $0; 5$.

12.7. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3x+4} + \sqrt{x-4} = 2\sqrt{x}$;

2) $\sqrt{x+1} - \sqrt{9-x} = \sqrt{2x-12}$.

1) Решим уравнение $\sqrt{3x+4} + \sqrt{x-4} = 2\sqrt{x}$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:
$ \begin{cases} 3x+4 \ge 0 \\ x-4 \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases} $
Решим эту систему:
$ \begin{cases} x \ge -4/3 \\ x \ge 4 \\ x \ge 0 \end{cases} $
Общим решением системы является $x \ge 4$. Это и есть ОДЗ.
На ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, не опасаясь появления посторонних корней:
$(\sqrt{3x+4} + \sqrt{x-4})^2 = (2\sqrt{x})^2$
Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$(3x+4) + 2\sqrt{(3x+4)(x-4)} + (x-4) = 4x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$4x + 2\sqrt{3x^2 - 12x + 4x - 16} = 4x$
$4x + 2\sqrt{3x^2 - 8x - 16} = 4x$
Вычтем $4x$ из обеих частей уравнения:
$2\sqrt{3x^2 - 8x - 16} = 0$
Разделим на 2:
$\sqrt{3x^2 - 8x - 16} = 0$
Возведем в квадрат еще раз:
$3x^2 - 8x - 16 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 64 + 192 = 256 = 16^2$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$.
Теперь проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 4$).
Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 \ge 4$.
Корень $x_2 = -4/3$ не удовлетворяет условию $x \ge 4$.
Следовательно, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $4$.

2) Решим уравнение $\sqrt{x+1} - \sqrt{9-x} = \sqrt{2x-12}$.
Найдем ОДЗ, составив систему неравенств:
$ \begin{cases} x+1 \ge 0 \\ 9-x \ge 0 \\ 2x-12 \ge 0 \end{cases} $
Решим систему:
$ \begin{cases} x \ge -1 \\ x \le 9 \\ x \ge 6 \end{cases} $
Общим решением, а значит и ОДЗ, является промежуток $6 \le x \le 9$.
Так как правая часть уравнения $\sqrt{2x-12}$ по определению арифметического корня неотрицательна, то и левая часть также должна быть неотрицательной:
$\sqrt{x+1} - \sqrt{9-x} \ge 0$
$\sqrt{x+1} \ge \sqrt{9-x}$
Так как обе части этого неравенства неотрицательны, возводим в квадрат:
$x+1 \ge 9-x$
$2x \ge 8$
$x \ge 4$
Совмещая это условие с ОДЗ ($6 \le x \le 9$), получаем, что область решения остается прежней: $6 \le x \le 9$.
Теперь возведем обе части исходного уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+1} - \sqrt{9-x})^2 = (\sqrt{2x-12})^2$
$(x+1) - 2\sqrt{(x+1)(9-x)} + (9-x) = 2x - 12$
Приведем подобные слагаемые:
$10 - 2\sqrt{-x^2+8x+9} = 2x - 12$
Уединим радикал в одной части уравнения:
$10 - (2x-12) = 2\sqrt{-x^2+8x+9}$
$22 - 2x = 2\sqrt{-x^2+8x+9}$
Разделим обе части на 2:
$11 - x = \sqrt{-x^2+8x+9}$
Для нашей ОДЗ ($6 \le x \le 9$) левая часть $11-x$ положительна, поэтому можно снова возвести в квадрат:
$(11-x)^2 = -x^2+8x+9$
$121 - 22x + x^2 = -x^2+8x+9$
$2x^2 - 30x + 112 = 0$
Разделим уравнение на 2 для упрощения:
$x^2 - 15x + 56 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 15, а их произведение равно 56. Легко подобрать корни: $x_1=7$ и $x_2=8$.
Оба корня $x=7$ и $x=8$ принадлежат ОДЗ ($6 \le x \le 9$).
Так как мы выполняли возведение в квадрат, необходима проверка.
Проверка для $x=7$:
$\sqrt{7+1} - \sqrt{9-7} = \sqrt{8} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$.
$\sqrt{2(7)-12} = \sqrt{14-12} = \sqrt{2}$.
Верно ($\sqrt{2}=\sqrt{2}$).
Проверка для $x=8$:
$\sqrt{8+1} - \sqrt{9-8} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3-1=2$.
$\sqrt{2(8)-12} = \sqrt{16-12} = \sqrt{4}=2$.
Верно ($2=2$).
Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $7; 8$.

12.8. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x+3} - \sqrt{2x-1} - \sqrt{3x-2} = 0;$

2) $\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} = \sqrt{3x-1}.$

1)

Исходное уравнение: $\sqrt{x+3} - \sqrt{2x-1} - \sqrt{3x-2} = 0$.

Для удобства решения перенесем два слагаемых в правую часть уравнения:

$\sqrt{x+3} = \sqrt{2x-1} + \sqrt{3x-2}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ 2x-1 \ge 0 \\ 3x-2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge 1/2 \\ x \ge 2/3 \end{cases}$

Пересечением данных условий является промежуток $x \ge 2/3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [2/3, +\infty)$.

Возведем обе части уравнения в квадрат. Так как в ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, это преобразование является равносильным.

$(\sqrt{x+3})^2 = (\sqrt{2x-1} + \sqrt{3x-2})^2$

$x+3 = (2x-1) + 2\sqrt{(2x-1)(3x-2)} + (3x-2)$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$x+3 = 5x - 3 + 2\sqrt{6x^2 - 4x - 3x + 2}$

$x+3 = 5x - 3 + 2\sqrt{6x^2 - 7x + 2}$

Уединим радикал в одной части уравнения:

$3+3 - 5x + x = 2\sqrt{6x^2 - 7x + 2}$

$6 - 4x = 2\sqrt{6x^2 - 7x + 2}$

Разделим обе части на 2:

$3 - 2x = \sqrt{6x^2 - 7x + 2}$

Правая часть уравнения (квадратный корень) по определению неотрицательна. Следовательно, левая часть также должна быть неотрицательной: $3 - 2x \ge 0$, что равносильно $3 \ge 2x$ или $x \le 3/2$.

С учетом ОДЗ ($x \ge 2/3$), получаем, что возможные решения должны находиться в интервале $[2/3, 3/2]$.

Снова возведем обе части в квадрат:

$(3 - 2x)^2 = (\sqrt{6x^2 - 7x + 2})^2$

$9 - 12x + 4x^2 = 6x^2 - 7x + 2$

Перенесем все слагаемые в одну часть и приведем подобные:

$6x^2 - 4x^2 - 7x + 12x + 2 - 9 = 0$

$2x^2 + 5x - 7 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.

Найдем корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 9}{4}$.

$x_1 = \frac{-5+9}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

$x_2 = \frac{-5-9}{4} = \frac{-14}{4} = -3.5$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \in [2/3, 3/2]$.

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $2/3 \approx 0.67$ и $3/2 = 1.5$, и $0.67 \le 1 \le 1.5$.

Корень $x_2 = -3.5$ не удовлетворяет условию, следовательно, является посторонним.

Проверка. Подставим $x=1$ в исходное уравнение:

$\sqrt{1+3} - \sqrt{2 \cdot 1 - 1} - \sqrt{3 \cdot 1 - 2} = \sqrt{4} - \sqrt{1} - \sqrt{1} = 2 - 1 - 1 = 0$.

$0=0$. Равенство верное.

Ответ: $1$.

2)

Исходное уравнение: $\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} = \sqrt{3x-1}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x+1 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \\ 3x-1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ge 1 \\ x \ge 1/3 \end{cases}$

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in [1, +\infty)$.

Возведем обе части уравнения в квадрат. На ОДЗ обе части неотрицательны.

$(\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1})^2 = (\sqrt{3x-1})^2$

$(x+1) + 2\sqrt{(x+1)(x-1)} + (x-1) = 3x-1$

Упростим выражение:

$2x + 2\sqrt{x^2 - 1} = 3x-1$

Уединим радикал:

$2\sqrt{x^2 - 1} = 3x - 1 - 2x$

$2\sqrt{x^2 - 1} = x - 1$

Левая часть неотрицательна, значит и правая должна быть неотрицательной: $x-1 \ge 0$, что означает $x \ge 1$. Это условие совпадает с нашей ОДЗ и не вводит новых ограничений.

Снова возведем обе части в квадрат:

$(2\sqrt{x^2 - 1})^2 = (x-1)^2$

$4(x^2 - 1) = x^2 - 2x + 1$

$4x^2 - 4 = x^2 - 2x + 1$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$4x^2 - x^2 + 2x - 4 - 1 = 0$

$3x^2 + 2x - 5 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 8}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 8}{6}$.

$x_1 = \frac{-2+8}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

$x_2 = \frac{-2-8}{6} = \frac{-10}{6} = -5/3$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 1$).

$x_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ.

$x_2 = -5/3$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним корнем.

Проверка. Подставим $x=1$ в исходное уравнение:

$\sqrt{1+1} + \sqrt{1-1} = \sqrt{3 \cdot 1 - 1}$

$\sqrt{2} + \sqrt{0} = \sqrt{2}$

$\sqrt{2} = \sqrt{2}$. Равенство верное.

Ответ: $1$.

12.9. Решите уравнение:

1) $x^4 - 9x^2 + 20 = 0;$

2) $x^4 - 5x^2 - 36 = 0.$

1) $x^4 - 9x^2 + 20 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно переменной $t$:

$t^2 - 9t + 20 = 0$

Найдем дискриминант $D$ и корни уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Оба корня ($4$ и $5$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену:

1. Если $t = 4$, то $x^2 = 4$. Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

2. Если $t = 5$, то $x^2 = 5$. Отсюда $x_3 = \sqrt{5}$ и $x_4 = -\sqrt{5}$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $\pm 2; \pm \sqrt{5}$.

2) $x^4 - 5x^2 - 36 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 5t - 36 = 0$

Найдем дискриминант $D$ и корни уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = -4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Корень $t_2 = 9$ удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену для $t_2 = 9$:

$x^2 = 9$

Отсюда $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $\pm 3$.

12.10. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $(x^2 + 3x)^2 - 2(x^2 + 3x) - 8 = 0;$

2) $(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) = 12;$

3) $\frac{x - 1}{x} - \frac{3x}{2(x - 1)} = -\frac{5}{2};$

4) $\frac{x^2}{(2x + 3)^2} - \frac{3x}{2x + 3} + 2 = 0.$

1) $(x^2 + 3x)^2 - 2(x^2 + 3x) - 8 = 0;$

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 3x$. Тогда исходное уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:
$t^2 - 2t - 8 = 0$.

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета:
Сумма корней $t_1 + t_2 = 2$.
Произведение корней $t_1 \cdot t_2 = -8$.
Отсюда находим корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$.

Выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.
1. Если $t = 4$, то $x^2 + 3x = 4$.
$x^2 + 3x - 4 = 0$.
По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.
2. Если $t = -2$, то $x^2 + 3x = -2$.
$x^2 + 3x + 2 = 0$.
По теореме Виета, корни этого уравнения $x_3 = -1$ и $x_4 = -2$.

Ответ: $-4; -2; -1; 1$.

2) $(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) = 12;$

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 + x$. Уравнение преобразуется к виду:
$(t + 1)(t + 2) = 12$.

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:
$t^2 + 3t + 2 = 12$
$t^2 + 3t - 10 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения для $t$: $t_1 = 2$ и $t_2 = -5$.

Выполним обратную замену.
1. Если $t = 2$, то $x^2 + x = 2$.
$x^2 + x - 2 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
2. Если $t = -5$, то $x^2 + x = -5$.
$x^2 + x + 5 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 - 20 = -19$.
Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $-2; 1$.

3) $\frac{x-1}{x} - \frac{3x}{2(x-1)} = -\frac{5}{2};$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$ и $x \neq 1$.
Введем замену: пусть $t = \frac{x-1}{x}$. Тогда $\frac{3x}{2(x-1)} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{t}$.
Уравнение принимает вид:
$t - \frac{3}{2t} = -\frac{5}{2}$.

Умножим обе части уравнения на $2t$ (с учетом, что $t \neq 0$, так как $x \neq 1$):
$2t^2 - 3 = -5t$
$2t^2 + 5t - 3 = 0$.

Решим квадратное уравнение для $t$ через дискриминант:
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
$t_1 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$t_2 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$.

Выполним обратную замену.
1. Если $t = \frac{1}{2}$, то $\frac{x-1}{x} = \frac{1}{2}$.
$2(x-1) = x \implies 2x - 2 = x \implies x = 2$.
2. Если $t = -3$, то $\frac{x-1}{x} = -3$.
$x-1 = -3x \implies 4x = 1 \implies x = \frac{1}{4}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{4}; 2$.

4) $\frac{x^2}{(2x+3)^2} - \frac{3x}{2x+3} + 2 = 0.$

ОДЗ: $2x+3 \neq 0$, следовательно, $x \neq -\frac{3}{2}$.
Уравнение можно представить в виде:
$(\frac{x}{2x+3})^2 - 3(\frac{x}{2x+3}) + 2 = 0$.

Введем замену: пусть $t = \frac{x}{2x+3}$. Уравнение примет вид:
$t^2 - 3t + 2 = 0$.
По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Выполним обратную замену.
1. Если $t = 1$, то $\frac{x}{2x+3} = 1$.
$x = 2x+3 \implies -x = 3 \implies x = -3$.
2. Если $t = 2$, то $\frac{x}{2x+3} = 2$.
$x = 2(2x+3) \implies x = 4x+6 \implies -3x = 6 \implies x = -2$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-3; -2$.