Номер 12.7, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.7. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3x+4} + \sqrt{x-4} = 2\sqrt{x}$;

2) $\sqrt{x+1} - \sqrt{9-x} = \sqrt{2x-12}$.

1) Решим уравнение $\sqrt{3x+4} + \sqrt{x-4} = 2\sqrt{x}$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными. Составим систему неравенств:
$ \begin{cases} 3x+4 \ge 0 \\ x-4 \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases} $
Решим эту систему:
$ \begin{cases} x \ge -4/3 \\ x \ge 4 \\ x \ge 0 \end{cases} $
Общим решением системы является $x \ge 4$. Это и есть ОДЗ.
На ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, не опасаясь появления посторонних корней:
$(\sqrt{3x+4} + \sqrt{x-4})^2 = (2\sqrt{x})^2$
Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$(3x+4) + 2\sqrt{(3x+4)(x-4)} + (x-4) = 4x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$4x + 2\sqrt{3x^2 - 12x + 4x - 16} = 4x$
$4x + 2\sqrt{3x^2 - 8x - 16} = 4x$
Вычтем $4x$ из обеих частей уравнения:
$2\sqrt{3x^2 - 8x - 16} = 0$
Разделим на 2:
$\sqrt{3x^2 - 8x - 16} = 0$
Возведем в квадрат еще раз:
$3x^2 - 8x - 16 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 64 + 192 = 256 = 16^2$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$.
Теперь проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 4$).
Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 \ge 4$.
Корень $x_2 = -4/3$ не удовлетворяет условию $x \ge 4$.
Следовательно, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $4$.

2) Решим уравнение $\sqrt{x+1} - \sqrt{9-x} = \sqrt{2x-12}$.
Найдем ОДЗ, составив систему неравенств:
$ \begin{cases} x+1 \ge 0 \\ 9-x \ge 0 \\ 2x-12 \ge 0 \end{cases} $
Решим систему:
$ \begin{cases} x \ge -1 \\ x \le 9 \\ x \ge 6 \end{cases} $
Общим решением, а значит и ОДЗ, является промежуток $6 \le x \le 9$.
Так как правая часть уравнения $\sqrt{2x-12}$ по определению арифметического корня неотрицательна, то и левая часть также должна быть неотрицательной:
$\sqrt{x+1} - \sqrt{9-x} \ge 0$
$\sqrt{x+1} \ge \sqrt{9-x}$
Так как обе части этого неравенства неотрицательны, возводим в квадрат:
$x+1 \ge 9-x$
$2x \ge 8$
$x \ge 4$
Совмещая это условие с ОДЗ ($6 \le x \le 9$), получаем, что область решения остается прежней: $6 \le x \le 9$.
Теперь возведем обе части исходного уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+1} - \sqrt{9-x})^2 = (\sqrt{2x-12})^2$
$(x+1) - 2\sqrt{(x+1)(9-x)} + (9-x) = 2x - 12$
Приведем подобные слагаемые:
$10 - 2\sqrt{-x^2+8x+9} = 2x - 12$
Уединим радикал в одной части уравнения:
$10 - (2x-12) = 2\sqrt{-x^2+8x+9}$
$22 - 2x = 2\sqrt{-x^2+8x+9}$
Разделим обе части на 2:
$11 - x = \sqrt{-x^2+8x+9}$
Для нашей ОДЗ ($6 \le x \le 9$) левая часть $11-x$ положительна, поэтому можно снова возвести в квадрат:
$(11-x)^2 = -x^2+8x+9$
$121 - 22x + x^2 = -x^2+8x+9$
$2x^2 - 30x + 112 = 0$
Разделим уравнение на 2 для упрощения:
$x^2 - 15x + 56 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 15, а их произведение равно 56. Легко подобрать корни: $x_1=7$ и $x_2=8$.
Оба корня $x=7$ и $x=8$ принадлежат ОДЗ ($6 \le x \le 9$).
Так как мы выполняли возведение в квадрат, необходима проверка.
Проверка для $x=7$:
$\sqrt{7+1} - \sqrt{9-7} = \sqrt{8} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$.
$\sqrt{2(7)-12} = \sqrt{14-12} = \sqrt{2}$.
Верно ($\sqrt{2}=\sqrt{2}$).
Проверка для $x=8$:
$\sqrt{8+1} - \sqrt{9-8} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3-1=2$.
$\sqrt{2(8)-12} = \sqrt{16-12} = \sqrt{4}=2$.
Верно ($2=2$).
Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $7; 8$.