Номер 12.4, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.4. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x^2 - 4x + 13} = \frac{1}{2}x + 2;$

2) $\sqrt{2x^2 + 8x + 7} - 2 = x;$

3) $\sqrt{x + 2} = 1 - x.$

1) $\sqrt{x^2 - 4x + 13} = \frac{1}{2}x + 2$

Данное уравнение является иррациональным. Для его решения возведем обе части в квадрат, предварительно определив область допустимых значений (ОДЗ).

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - 4x + 13 \ge 0$. Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36$. Так как дискриминант отрицательный, а старший коэффициент (1) положителен, выражение $x^2 - 4x + 13$ всегда положительно при любом значении $x$.

2. Правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня: $\frac{1}{2}x + 2 \ge 0$ $\frac{1}{2}x \ge -2$ $x \ge -4$. Это и есть наше условие для корней.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x^2 - 4x + 13})^2 = (\frac{1}{2}x + 2)^2$

$x^2 - 4x + 13 = \frac{1}{4}x^2 + 2 \cdot (\frac{1}{2}x) \cdot 2 + 2^2$

$x^2 - 4x + 13 = \frac{1}{4}x^2 + 2x + 4$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - \frac{1}{4}x^2 - 4x - 2x + 13 - 4 = 0$

$\frac{3}{4}x^2 - 6x + 9 = 0$

Умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от дроби:

$3x^2 - 24x + 36 = 0$

Разделим все уравнение на 3:

$x^2 - 8x + 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 12. Корнями являются числа 2 и 6.

$x_1 = 2$, $x_2 = 6$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge -4$.

Для $x=2$: $2 \ge -4$ (верно).

Для $x=6$: $6 \ge -4$ (верно).

Оба корня подходят.

Ответ: $2; 6$.

2) $\sqrt{2x^2 + 8x + 7} - 2 = x$

Сначала изолируем радикал в левой части уравнения:

$\sqrt{2x^2 + 8x + 7} = x + 2$

Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе, состоящей из уравнения, полученного возведением в квадрат, и неравенства, требующего неотрицательность правой части:

$\begin{cases} x + 2 \ge 0 \\ 2x^2 + 8x + 7 = (x+2)^2 \end{cases}$

Решим сначала неравенство:

$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.

Теперь решим уравнение:

$2x^2 + 8x + 7 = x^2 + 4x + 4$

$2x^2 - x^2 + 8x - 4x + 7 - 4 = 0$

$x^2 + 4x + 3 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -4, а произведение равно 3. Корнями являются числа -1 и -3.

$x_1 = -1$, $x_2 = -3$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x \ge -2$.

Для $x = -1$: $-1 \ge -2$ (верно). Этот корень подходит.

Для $x = -3$: $-3 \ge -2$ (неверно). Этот корень является посторонним.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $-1$.

3) $\sqrt{x + 2} = 1 - x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения (которая равна корню) также должна быть неотрицательной.

$\begin{cases} x + 2 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \le 1 \end{cases}$

Следовательно, корень уравнения должен принадлежать промежутку $[-2; 1]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x + 2})^2 = (1-x)^2$

$x + 2 = 1 - 2x + x^2$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - x + 1 - 2 = 0$

$x^2 - 3x - 1 = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Получаем два потенциальных корня: $x_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$ и $x_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$.

Проверим, принадлежат ли эти корни ОДЗ, то есть промежутку $[-2; 1]$.

Для $x_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$: Так как $\sqrt{13} \approx 3.6$, то $x_1 \approx \frac{3 + 3.6}{2} = \frac{6.6}{2} = 3.3$. Это значение не входит в промежуток $[-2; 1]$, так как $3.3 > 1$. Следовательно, $x_1$ - посторонний корень.

Для $x_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$: Так как $\sqrt{13} \approx 3.6$, то $x_2 \approx \frac{3 - 3.6}{2} = \frac{-0.6}{2} = -0.3$. Это значение входит в промежуток $[-2; 1]$. Следовательно, $x_2$ является решением уравнения.

Ответ: $\frac{3 - \sqrt{13}}{2}$.