Номер 13.1, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.1. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x-1} > 4;$

2) $\sqrt{x-1} < 4;$

3) $\sqrt{x-1} > -4;$

4) $\sqrt{x-1} < -4.$

1)

Дано неравенство $\sqrt{x-1} > 4$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которой выражение под корнем неотрицательно:

$x - 1 \ge 0$

$x \ge 1$

Так как обе части исходного неравенства ($\sqrt{x-1}$ и $4$) неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:

$(\sqrt{x-1})^2 > 4^2$

$x - 1 > 16$

$x > 17$

Теперь объединим полученное решение с ОДЗ в систему:

$\begin{cases} x > 17 \\ x \ge 1 \end{cases}$

Решением системы является $x > 17$.

Ответ: $x \in (17; +\infty)$.

2)

Дано неравенство $\sqrt{x-1} < 4$.

Область допустимых значений (ОДЗ) такая же, как в предыдущем пункте:

$x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$

Левая часть неравенства ($\sqrt{x-1}$) неотрицательна, правая часть ($4$) положительна. Возводим обе части в квадрат:

$(\sqrt{x-1})^2 < 4^2$

$x - 1 < 16$

$x < 17$

Совместим полученное решение с ОДЗ:

$\begin{cases} x < 17 \\ x \ge 1 \end{cases}$

Решением этой системы является двойное неравенство $1 \le x < 17$.

Ответ: $x \in [1; 17)$.

3)

Дано неравенство $\sqrt{x-1} > -4$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$

По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x-1}$ всегда принимает неотрицательные значения, то есть $\sqrt{x-1} \ge 0$ для всех $x$ из ОДЗ.

Правая часть неравенства равна -4. Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа. Таким образом, неравенство $\sqrt{x-1} > -4$ справедливо для всех значений $x$, при которых левая часть определена.

Следовательно, решением неравенства является вся его область допустимых значений.

Ответ: $x \in [1; +\infty)$.

4)

Дано неравенство $\sqrt{x-1} < -4$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$.

Значение арифметического квадратного корня $\sqrt{x-1}$ всегда неотрицательно ($\ge 0$) для любого $x$ из ОДЗ.

Неравенство утверждает, что неотрицательное число меньше отрицательного числа -4, что является невозможным.

Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$ (нет решений).