Номер 13.3, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

§ 13. Иррациональные неравенства. Глава 2. Степенная функция - номер 13.3, страница 102.

13.3. Решите неравенство:

1) $\sqrt{3x-2} < \sqrt{x+6};$

2) $\sqrt{2x^2+6x-3} \ge \sqrt{x^2+4x};$

3) $\sqrt{x^2+3x-10} < \sqrt{x-2}.$

1) $\sqrt{3x - 2} < \sqrt{x + 6}$

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < \sqrt{g(x)}$ равносильно системе неравенств, так как обе части неравенства неотрицательны:

$\begin{cases} 3x - 2 \ge 0 \\ x + 6 > 3x - 2 \end{cases}$

Первое неравенство задает область определения (подкоренное выражение должно быть неотрицательным). Второе неравенство получается возведением обеих частей исходного неравенства в квадрат. Условие $x+6 \ge 0$ является избыточным, так как из системы следует, что $x+6 > 3x-2 \ge 0$.

Решим первое неравенство системы:
$3x - 2 \ge 0$
$3x \ge 2$
$x \ge \frac{2}{3}$

Решим второе неравенство системы:
$x + 6 > 3x - 2$
$6 + 2 > 3x - x$
$8 > 2x$
$4 > x$, или $x < 4$

Найдем пересечение решений $x \ge \frac{2}{3}$ и $x < 4$.
Решением системы, а значит и исходного неравенства, является промежуток $[\frac{2}{3}; 4)$.

Ответ: $[\frac{2}{3}; 4)$.

2) $\sqrt{2x^2 + 6x - 3} \ge \sqrt{x^2 + 4x}$

Данное неравенство вида $\sqrt{f(x)} \ge \sqrt{g(x)}$ равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + 4x \ge 0 \\ 2x^2 + 6x - 3 \ge x^2 + 4x \end{cases}$

Первое неравенство задает область определения. Второе получается возведением в квадрат. Условие $2x^2 + 6x - 3 \ge 0$ избыточно, так как из системы следует, что $2x^2 + 6x - 3 \ge x^2+4x \ge 0$.

Решим первое неравенство: $x^2 + 4x \ge 0$.
Разложим на множители: $x(x + 4) \ge 0$.
Корни соответствующего уравнения $x(x+4)=0$: $x_1 = -4$ и $x_2 = 0$. Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется на промежутках $x \in (-\infty; -4] \cup [0; \infty)$.

Решим второе неравенство:
$2x^2 + 6x - 3 \ge x^2 + 4x$
$x^2 + 2x - 3 \ge 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -3] \cup [1; \infty)$.

Теперь найдем пересечение множеств решений двух неравенств: $(-\infty; -4] \cup [0; \infty)$ и $(-\infty; -3] \cup [1; \infty)$.
На числовой оси это соответствует объединению промежутков $(-\infty; -4]$ и $[1; \infty)$.

Ответ: $(-\infty; -4] \cup [1; \infty)$.

3) $\sqrt{x^2 + 3x - 10} < \sqrt{x - 2}$

Данное неравенство, как и в первом пункте, равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + 3x - 10 \ge 0 \\ x - 2 > x^2 + 3x - 10 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 + 3x - 10 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 2$. Графиком является парабола с ветвями вверх, значит, решение неравенства: $x \in (-\infty; -5] \cup [2; \infty)$.

Решим второе неравенство:
$x - 2 > x^2 + 3x - 10$
$0 > x^2 + 2x - 8$
$x^2 + 2x - 8 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$. Графиком является парабола с ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $x \in (-4; 2)$.

Найдем пересечение полученных решений: $(-\infty; -5] \cup [2; \infty)$ и $(-4; 2)$.
Первое множество состоит из чисел, которые либо меньше или равны $-5$, либо больше или равны $2$. Второе множество состоит из чисел, строго больших $-4$ и строго меньших $2$. У этих двух множеств нет общих точек. Следовательно, их пересечение является пустым множеством.

Ответ: нет решений.