Страница 102 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.1. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x-1} > 4;$

2) $\sqrt{x-1} < 4;$

3) $\sqrt{x-1} > -4;$

4) $\sqrt{x-1} < -4.$

1)

Дано неравенство $\sqrt{x-1} > 4$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которой выражение под корнем неотрицательно:

$x - 1 \ge 0$

$x \ge 1$

Так как обе части исходного неравенства ($\sqrt{x-1}$ и $4$) неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:

$(\sqrt{x-1})^2 > 4^2$

$x - 1 > 16$

$x > 17$

Теперь объединим полученное решение с ОДЗ в систему:

$\begin{cases} x > 17 \\ x \ge 1 \end{cases}$

Решением системы является $x > 17$.

Ответ: $x \in (17; +\infty)$.

2)

Дано неравенство $\sqrt{x-1} < 4$.

Область допустимых значений (ОДЗ) такая же, как в предыдущем пункте:

$x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$

Левая часть неравенства ($\sqrt{x-1}$) неотрицательна, правая часть ($4$) положительна. Возводим обе части в квадрат:

$(\sqrt{x-1})^2 < 4^2$

$x - 1 < 16$

$x < 17$

Совместим полученное решение с ОДЗ:

$\begin{cases} x < 17 \\ x \ge 1 \end{cases}$

Решением этой системы является двойное неравенство $1 \le x < 17$.

Ответ: $x \in [1; 17)$.

3)

Дано неравенство $\sqrt{x-1} > -4$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$

По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x-1}$ всегда принимает неотрицательные значения, то есть $\sqrt{x-1} \ge 0$ для всех $x$ из ОДЗ.

Правая часть неравенства равна -4. Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа. Таким образом, неравенство $\sqrt{x-1} > -4$ справедливо для всех значений $x$, при которых левая часть определена.

Следовательно, решением неравенства является вся его область допустимых значений.

Ответ: $x \in [1; +\infty)$.

4)

Дано неравенство $\sqrt{x-1} < -4$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$.

Значение арифметического квадратного корня $\sqrt{x-1}$ всегда неотрицательно ($\ge 0$) для любого $x$ из ОДЗ.

Неравенство утверждает, что неотрицательное число меньше отрицательного числа -4, что является невозможным.

Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$ (нет решений).

13.2. Решите неравенство:

1) $\sqrt{2x - 4} \ge \sqrt{5 - x}$;

2) $\sqrt{x} < \sqrt{x + 1}$;

3) $\sqrt{x^2 + x} < \sqrt{x^2 + 1}$;

4) $\sqrt{x^2 - 3x + 1} > \sqrt{2x - 3}$;

5) $\sqrt{8 - 5x} \ge \sqrt{x^2 - 16}$;

6) $\sqrt{x^2 - 3x + 2} < \sqrt{2x^2 - 3x + 1}$.

1) Решим неравенство $\sqrt{2x-4} \ge \sqrt{5-x}$.
Данное иррациональное неравенство равносильно системе, включающей в себя область определения и результат возведения в квадрат обеих неотрицательных частей:
$ \begin{cases} 2x - 4 \ge 0 \\ 5 - x \ge 0 \\ 2x - 4 \ge 5 - x \end{cases} $
Решим каждое неравенство системы по отдельности:
1. $2x - 4 \ge 0 \implies 2x \ge 4 \implies x \ge 2$.
2. $5 - x \ge 0 \implies 5 \ge x \implies x \le 5$.
3. $2x - 4 \ge 5 - x \implies 3x \ge 9 \implies x \ge 3$.
Теперь найдем пересечение полученных множеств решений: $x \ge 2$, $x \le 5$ и $x \ge 3$.
На числовой прямой это будет пересечение луча $[2, +\infty)$, луча $(-\infty, 5]$ и луча $[3, +\infty)$.
Общим решением является промежуток $[3, 5]$.
Ответ: $[3; 5]$.

2) Решим неравенство $\sqrt{x} < \sqrt{x+1}$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которой оба подкоренных выражения неотрицательны:
$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} $ $\implies$ $ \begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge -1 \end{cases} $ $\implies x \ge 0$.
На ОДЗ ($x \in [0; +\infty)$) обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt{x})^2 < (\sqrt{x+1})^2$
$x < x+1$
$0 < 1$
Полученное неравенство $0 < 1$ является верным при любых значениях $x$. Следовательно, решение исходного неравенства совпадает с его областью допустимых значений.
Ответ: $[0; +\infty)$.

3) Решим неравенство $\sqrt{x^2+x} < \sqrt{x^2+1}$.
Данное неравенство равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2+x \ge 0 \\ x^2+1 > x^2+x \end{cases} $
(Условие $x^2+1 \ge 0$ выполняется для любых $x$, так как $x^2 \ge 0$).
Решим каждое неравенство системы:
1. $x^2+x \ge 0 \implies x(x+1) \ge 0$. Решением этого квадратного неравенства является объединение промежутков $(-\infty; -1] \cup [0; +\infty)$.
2. $x^2+1 > x^2+x \implies 1 > x \implies x < 1$. Решением является промежуток $(-\infty; 1)$.
Найдем пересечение решений: $((-\infty; -1] \cup [0; +\infty)) \cap (-\infty; 1)$.
Пересечение $(-\infty; -1]$ с $(-\infty; 1)$ дает $(-\infty; -1]$.
Пересечение $[0; +\infty)$ с $(-\infty; 1)$ дает $[0; 1)$.
Объединяя эти результаты, получаем окончательное решение.
Ответ: $(-\infty; -1] \cup [0; 1)$.

4) Решим неравенство $\sqrt{x^2-3x+1} > \sqrt{2x-3}$.
Данное неравенство равносильно системе:
$ \begin{cases} 2x-3 \ge 0 \\ x^2-3x+1 > 2x-3 \end{cases} $
(Условие $x^2-3x+1 \ge 0$ будет выполнено автоматически, если выполнено второе неравенство системы).
Решим каждое неравенство:
1. $2x-3 \ge 0 \implies 2x \ge 3 \implies x \ge \frac{3}{2}$.
2. $x^2-3x+1 > 2x-3 \implies x^2-5x+4 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2-5x+4=0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$, $x_2=4$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства $x^2-5x+4 > 0$ есть $x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.
Теперь найдем пересечение решений системы: $x \ge \frac{3}{2}$ и $x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.
Поскольку $\frac{3}{2} = 1.5$, пересечение с интервалом $(-\infty; 1)$ пусто. Остается найти пересечение $[\frac{3}{2}; +\infty) \cap (4; +\infty)$, что дает $(4; +\infty)$.
Ответ: $(4; +\infty)$.

5) Решим неравенство $\sqrt{8-5x} \ge \sqrt{x^2-16}$.
Неравенство равносильно системе:
$ \begin{cases} 8-5x \ge 0 \\ x^2-16 \ge 0 \\ 8-5x \ge x^2-16 \end{cases} $
Решим каждое неравенство:
1. $8-5x \ge 0 \implies 8 \ge 5x \implies x \le \frac{8}{5}$, т.е. $x \le 1.6$.
2. $x^2-16 \ge 0 \implies (x-4)(x+4) \ge 0 \implies x \in (-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.
3. $8-5x \ge x^2-16 \implies 0 \ge x^2+5x-24 \implies x^2+5x-24 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2+5x-24=0$. $D = 25 - 4(1)(-24) = 121 = 11^2$. Корни $x_{1,2} = \frac{-5 \pm 11}{2}$, то есть $x_1=-8$, $x_2=3$.
Решение неравенства $x^2+5x-24 \le 0$ есть отрезок $[-8; 3]$.
Найдем пересечение трех множеств: $(-\infty; 1.6]$, $((-\infty; -4] \cup [4; +\infty))$ и $[-8; 3]$.
Сначала найдем ОДЗ (пересечение первых двух условий): $(-\infty; 1.6] \cap ((-\infty; -4] \cup [4; +\infty)) = (-\infty; -4]$.
Теперь пересечем ОДЗ с решением третьего неравенства: $(-\infty; -4] \cap [-8; 3]$.
Результатом является отрезок $[-8; -4]$.
Ответ: $[-8; -4]$.

6) Решим неравенство $\sqrt{x^2-3x+2} < \sqrt{2x^2-3x+1}$.
Данное неравенство равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2-3x+2 \ge 0 \\ x^2-3x+2 < 2x^2-3x+1 \end{cases} $
Решим оба неравенства:
1. $x^2-3x+2 \ge 0 \implies (x-1)(x-2) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)$.
2. $x^2-3x+2 < 2x^2-3x+1 \implies 1 < x^2 \implies x^2 - 1 > 0 \implies (x-1)(x+1)>0$. Решением является $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.
Теперь найдем пересечение решений: $((-\infty; 1] \cup [2; +\infty)) \cap ((-\infty; -1) \cup (1; +\infty))$.
Разобьем на части:
- Пересечение $(-\infty; 1]$ с $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$ дает $(-\infty; -1)$.
- Пересечение $[2; +\infty)$ с $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$ дает $[2; +\infty)$.
Объединяя полученные множества, получаем итоговый ответ.
Ответ: $(-\infty; -1) \cup [2; +\infty)$.

13.3. Решите неравенство:

1) $\sqrt{3x-2} < \sqrt{x+6};$

2) $\sqrt{2x^2+6x-3} \ge \sqrt{x^2+4x};$

3) $\sqrt{x^2+3x-10} < \sqrt{x-2}.$

1) $\sqrt{3x - 2} < \sqrt{x + 6}$

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < \sqrt{g(x)}$ равносильно системе неравенств, так как обе части неравенства неотрицательны:

$\begin{cases} 3x - 2 \ge 0 \\ x + 6 > 3x - 2 \end{cases}$

Первое неравенство задает область определения (подкоренное выражение должно быть неотрицательным). Второе неравенство получается возведением обеих частей исходного неравенства в квадрат. Условие $x+6 \ge 0$ является избыточным, так как из системы следует, что $x+6 > 3x-2 \ge 0$.

Решим первое неравенство системы:
$3x - 2 \ge 0$
$3x \ge 2$
$x \ge \frac{2}{3}$

Решим второе неравенство системы:
$x + 6 > 3x - 2$
$6 + 2 > 3x - x$
$8 > 2x$
$4 > x$, или $x < 4$

Найдем пересечение решений $x \ge \frac{2}{3}$ и $x < 4$.
Решением системы, а значит и исходного неравенства, является промежуток $[\frac{2}{3}; 4)$.

Ответ: $[\frac{2}{3}; 4)$.

2) $\sqrt{2x^2 + 6x - 3} \ge \sqrt{x^2 + 4x}$

Данное неравенство вида $\sqrt{f(x)} \ge \sqrt{g(x)}$ равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + 4x \ge 0 \\ 2x^2 + 6x - 3 \ge x^2 + 4x \end{cases}$

Первое неравенство задает область определения. Второе получается возведением в квадрат. Условие $2x^2 + 6x - 3 \ge 0$ избыточно, так как из системы следует, что $2x^2 + 6x - 3 \ge x^2+4x \ge 0$.

Решим первое неравенство: $x^2 + 4x \ge 0$.
Разложим на множители: $x(x + 4) \ge 0$.
Корни соответствующего уравнения $x(x+4)=0$: $x_1 = -4$ и $x_2 = 0$. Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется на промежутках $x \in (-\infty; -4] \cup [0; \infty)$.

Решим второе неравенство:
$2x^2 + 6x - 3 \ge x^2 + 4x$
$x^2 + 2x - 3 \ge 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -3] \cup [1; \infty)$.

Теперь найдем пересечение множеств решений двух неравенств: $(-\infty; -4] \cup [0; \infty)$ и $(-\infty; -3] \cup [1; \infty)$.
На числовой оси это соответствует объединению промежутков $(-\infty; -4]$ и $[1; \infty)$.

Ответ: $(-\infty; -4] \cup [1; \infty)$.

3) $\sqrt{x^2 + 3x - 10} < \sqrt{x - 2}$

Данное неравенство, как и в первом пункте, равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + 3x - 10 \ge 0 \\ x - 2 > x^2 + 3x - 10 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 + 3x - 10 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 2$. Графиком является парабола с ветвями вверх, значит, решение неравенства: $x \in (-\infty; -5] \cup [2; \infty)$.

Решим второе неравенство:
$x - 2 > x^2 + 3x - 10$
$0 > x^2 + 2x - 8$
$x^2 + 2x - 8 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$. Графиком является парабола с ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $x \in (-4; 2)$.

Найдем пересечение полученных решений: $(-\infty; -5] \cup [2; \infty)$ и $(-4; 2)$.
Первое множество состоит из чисел, которые либо меньше или равны $-5$, либо больше или равны $2$. Второе множество состоит из чисел, строго больших $-4$ и строго меньших $2$. У этих двух множеств нет общих точек. Следовательно, их пересечение является пустым множеством.

Ответ: нет решений.

13.4. Решите неравенство:

1) $x > \sqrt{24 - 5x}$;

2) $\sqrt{2x + 7} \le x + 2$;

3) $\sqrt{3x - x^2} < 4 - x$;

4) $3 - x > 3\sqrt{1 - x^2}$;

5) $\sqrt{x^2 + 3x + 3} < 2x + 1;$

6) $\sqrt{7x - x^2 - 6} < 2x + 3.$

1)

Решим неравенство $x > \sqrt{24 - 5x}$.
Данное неравенство равносильно системе из трех условий:

$ \begin{cases} 24 - 5x \ge 0 & \text{(подкоренное выражение неотрицательно)} \\ x > 0 & \text{(левая часть больше правой, которая неотрицательна)} \\ x^2 > 24 - 5x & \text{(можно возвести в квадрат, так как обе части неотрицательны)} \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $24 - 5x \ge 0 \implies 24 \ge 5x \implies x \le 4.8$.

2. $x > 0$.

3. $x^2 > 24 - 5x \implies x^2 + 5x - 24 > 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 5x - 24 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -8$ и $x_2 = 3$.
Так как ветви параболы $y = x^2 + 5x - 24$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -8) \cup (3, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств: $x \in (0, 4.8] \cap ((-\infty, -8) \cup (3, \infty))$.
Пересечением является интервал $(3, 4.8]$.

Ответ: $(3, 4.8]$.

2)

Решим неравенство $\sqrt{2x + 7} \le x + 2$.
Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 2x + 7 \ge 0 & \text{(подкоренное выражение неотрицательно)} \\ x + 2 \ge 0 & \text{(правая часть не меньше левой, которая неотрицательна)} \\ 2x + 7 \le (x + 2)^2 & \text{(можно возвести в квадрат, так как обе части неотрицательны)} \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $2x + 7 \ge 0 \implies 2x \ge -7 \implies x \ge -3.5$.

2. $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.

3. $2x + 7 \le x^2 + 4x + 4 \implies 0 \le x^2 + 2x - 3$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.
Так как ветви параболы $y = x^2 + 2x - 3$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [1, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \ge -2$ и $x \in (-\infty, -3] \cup [1, \infty)$.
Пересечением является промежуток $[1, \infty)$. Условие $x \ge -3.5$ при этом также выполняется.

Ответ: $[1, \infty)$.

3)

Решим неравенство $\sqrt{3x - x^2} < 4 - x$.
Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 3x - x^2 \ge 0 \\ 4 - x > 0 \\ 3x - x^2 < (4 - x)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $3x - x^2 \ge 0 \implies x(3 - x) \ge 0$.
Корни $x=0$ и $x=3$. Ветви параболы $y = -x^2 + 3x$ направлены вниз, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in [0, 3]$.

2. $4 - x > 0 \implies x < 4$.

3. $3x - x^2 < 16 - 8x + x^2 \implies 0 < 2x^2 - 11x + 16$.
Найдем дискриминант квадратного трехчлена $2x^2 - 11x + 16$:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 16 = 121 - 128 = -7$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=2 > 0$, выражение $2x^2 - 11x + 16$ положительно при любых $x$.

Найдем пересечение решений: $x \in [0, 3]$ и $x < 4$.
Пересечением является отрезок $[0, 3]$.

Ответ: $[0, 3]$.

4)

Решим неравенство $3 - x > 3\sqrt{1 - x^2}$.
Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 1 - x^2 \ge 0 \\ 3 - x > 0 \\ (3 - x)^2 > (3\sqrt{1 - x^2})^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $1 - x^2 \ge 0 \implies (1 - x)(1 + x) \ge 0$.
Корни $x=-1$ и $x=1$. Ветви параболы $y = 1 - x^2$ направлены вниз, поэтому неравенство выполняется при $x \in [-1, 1]$.

2. $3 - x > 0 \implies x < 3$.

3. $9 - 6x + x^2 > 9(1 - x^2) \implies 9 - 6x + x^2 > 9 - 9x^2 \implies 10x^2 - 6x > 0 \implies 2x(5x - 3) > 0$.
Корни $x=0$ и $x=3/5$. Ветви параболы $y = 10x^2 - 6x$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 0) \cup (3/5, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \in [-1, 1]$ и $x \in (-\infty, 0) \cup (3/5, \infty)$. (Условие $x < 3$ уже учтено в первом неравенстве).
Пересечением является объединение интервалов $[-1, 0) \cup (3/5, 1]$.

Ответ: $[-1, 0) \cup (3/5, 1]$.

5)

Решим неравенство $\sqrt{x^2 + 3x + 3} < 2x + 1$.
Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 + 3x + 3 \ge 0 \\ 2x + 1 > 0 \\ x^2 + 3x + 3 < (2x + 1)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $x^2 + 3x + 3 \ge 0$.
Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, выражение $x^2 + 3x + 3$ всегда положительно. Неравенство верно для всех $x \in \mathbb{R}$.

2. $2x + 1 > 0 \implies 2x > -1 \implies x > -1/2$.

3. $x^2 + 3x + 3 < 4x^2 + 4x + 1 \implies 0 < 3x^2 + x - 2$.
Найдем корни уравнения $3x^2 + x - 2 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.
$x = \frac{-1 \pm 5}{6}$. Корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2/3$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1) \cup (2/3, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $x > -1/2$ и $x \in (-\infty, -1) \cup (2/3, \infty)$.
Пересечением является интервал $(2/3, \infty)$.

Ответ: $(2/3, \infty)$.

6)

Решим неравенство $\sqrt{7x - x^2 - 6} < 2x + 3$.
Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 7x - x^2 - 6 \ge 0 \\ 2x + 3 > 0 \\ 7x - x^2 - 6 < (2x + 3)^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $7x - x^2 - 6 \ge 0 \implies x^2 - 7x + 6 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.
Ветви параболы $y = x^2 - 7x + 6$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in [1, 6]$.

2. $2x + 3 > 0 \implies 2x > -3 \implies x > -1.5$.

3. $7x - x^2 - 6 < 4x^2 + 12x + 9 \implies 0 < 5x^2 + 5x + 15 \implies x^2 + x + 3 > 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$.
Так как $D < 0$ и $a=1 > 0$, выражение $x^2 + x + 3$ всегда положительно. Неравенство верно для всех $x \in \mathbb{R}$.

Найдем пересечение решений: $x \in [1, 6]$ и $x > -1.5$.
Пересечением является отрезок $[1, 6]$.

Ответ: $[1, 6]$.

13.5. Решите неравенство:

1) $\sqrt{9x - 20} < x;$

2) $\sqrt{x + 61} < x + 5;$

3) $2\sqrt{4 - x^2} \le x + 4;$

4) $\sqrt{x^2 + 4x - 5} < x - 3.$

Решим неравенство $\sqrt{9x - 20} < x$.

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе из трех неравенств:

$\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases} \implies \begin{cases} 9x - 20 \ge 0 \\ x > 0 \\ 9x - 20 < x^2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

1. $9x - 20 \ge 0 \implies 9x \ge 20 \implies x \ge \frac{20}{9}$.

2. $x > 0$.

3. $9x - 20 < x^2 \implies x^2 - 9x + 20 > 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 9x + 20 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 4$ и $x_2 = 5$.
Так как это парабола с ветвями вверх, решением неравенства $x^2 - 9x + 20 > 0$ является объединение интервалов $x \in (-\infty, 4) \cup (5, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств. Условие $x > 0$ поглощается более строгим условием $x \ge \frac{20}{9}$.
Ищем пересечение множеств $x \ge \frac{20}{9}$ и $x \in (-\infty, 4) \cup (5, +\infty)$.
Это дает нам два интервала: $[\frac{20}{9}, 4)$ и $(5, +\infty)$.

Ответ: $x \in [\frac{20}{9}, 4) \cup (5, +\infty)$.

Решим неравенство $\sqrt{x + 61} < x + 5$.

Данное неравенство также равносильно системе:

$\begin{cases} x + 61 \ge 0 \\ x + 5 > 0 \\ x + 61 < (x + 5)^2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $x + 61 \ge 0 \implies x \ge -61$.

2. $x + 5 > 0 \implies x > -5$.

3. $x + 61 < (x + 5)^2 \implies x + 61 < x^2 + 10x + 25 \implies x^2 + 9x - 36 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 9x - 36 = 0$.
Дискриминант $D = 9^2 - 4(1)(-36) = 81 + 144 = 225 = 15^2$.
Корни: $x_1 = \frac{-9 - 15}{2} = -12$ и $x_2 = \frac{-9 + 15}{2} = 3$.
Решением неравенства $x^2 + 9x - 36 > 0$ является $x \in (-\infty, -12) \cup (3, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений системы. Условие $x > -5$ является более строгим, чем $x \ge -61$.
$\begin{cases} x > -5 \\ x \in (-\infty, -12) \cup (3, +\infty) \end{cases}$

Пересекая интервал $x > -5$ с объединением $(-\infty, -12) \cup (3, +\infty)$, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (3, +\infty)$.

Решим неравенство $2\sqrt{4 - x^2} \le x + 4$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), потребовав, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:
$4 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 4 \implies -2 \le x \le 2$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [-2, 2]$.

На ОДЗ $x \in [-2, 2]$ правая часть неравенства $x+4$ всегда положительна, так как ее наименьшее значение равно $-2+4 = 2 > 0$.
Левая часть $2\sqrt{4 - x^2}$ также неотрицательна. Следовательно, можно возвести обе части неравенства в квадрат, не меняя знака неравенства:

$(2\sqrt{4 - x^2})^2 \le (x + 4)^2$

$4(4 - x^2) \le x^2 + 8x + 16$

$16 - 4x^2 \le x^2 + 8x + 16$

$0 \le 5x^2 + 8x$

$x(5x + 8) \ge 0$

Корни уравнения $x(5x+8)=0$ равны $x_1=0$ и $x_2 = -\frac{8}{5}$.
Решением этого квадратичного неравенства является $x \in (-\infty, -\frac{8}{5}] \cup [0, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ $x \in [-2, 2]$:
$([-2, 2]) \cap ((-\infty, -\frac{8}{5}] \cup [0, +\infty)) = [-2, -\frac{8}{5}] \cup [0, 2]$.

Ответ: $x \in [-2, -\frac{8}{5}] \cup [0, 2]$.

Решим неравенство $\sqrt{x^2 + 4x - 5} < x - 3$.

Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + 4x - 5 \ge 0 \\ x - 3 > 0 \\ x^2 + 4x - 5 < (x - 3)^2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $x^2 + 4x - 5 \ge 0$.
Корни уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty, -5] \cup [1, +\infty)$.

2. $x - 3 > 0 \implies x > 3$.

3. $x^2 + 4x - 5 < (x-3)^2 \implies x^2 + 4x - 5 < x^2 - 6x + 9$.
$4x - 5 < -6x + 9$
$10x < 14$
$x < \frac{14}{10} \implies x < 1.4$.

Найдем пересечение решений всех трех неравенств:
$\begin{cases} x \in (-\infty, -5] \cup [1, +\infty) \\ x > 3 \\ x < 1.4 \end{cases}$

Условия $x > 3$ и $x < 1.4$ противоречат друг другу, так как не существует числа, которое одновременно больше 3 и меньше 1.4. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).