Страница 96 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.23. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} -x^2 + 1, & \text{если } x < 1 \\ x - 1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$ Пользуясь построенным графиком, определите промежутки возрастания и убывания данной функции.

Данная функция $f(x) = \begin{cases} -x^2 + 1, & \text{если } x < 1 \\ x - 1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$ является кусочно-заданной. Для построения ее графика рассмотрим каждую часть отдельно.

1. Построение графика функции $y = -x^2 + 1$ при $x < 1$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты ее вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2(-1)} = 0$

$y_0 = -0^2 + 1 = 1$

Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$. Эта точка удовлетворяет условию $x < 1$.

Найдем несколько контрольных точек для этой части графика:

• При $x = -1$, $y = -(-1)^2 + 1 = 0$. Точка $(-1, 0)$.
• Найдем значение функции на границе промежутка, в точке $x = 1$. $y = -(1)^2 + 1 = 0$. Так как условие строгое ($x < 1$), точка $(1, 0)$ будет выколотой (пустой кружок).

Таким образом, для $x < 1$ график представляет собой часть параболы с вершиной в точке $(0, 1)$, проходящую через точку $(-1, 0)$ и заканчивающуюся в выколотой точке $(1, 0)$.

2. Построение графика функции $y = x - 1$ при $x \ge 1$.

Графиком этой функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек.

• Возьмем начальную точку промежутка $x = 1$. $y = 1 - 1 = 0$. Точка $(1, 0)$ принадлежит графику (закрашенная). Эта точка совпадает с выколотой точкой от параболы, "закрашивая" ее.
• Возьмем еще одну точку, например, $x = 3$. $y = 3 - 1 = 2$. Точка $(3, 2)$.

Для $x \ge 1$ график представляет собой луч, выходящий из точки $(1, 0)$ и проходящий через точку $(3, 2)$.

3. Определение промежутков возрастания и убывания.

Проанализируем построенный график. Функция возрастает, когда ее график идет вверх (при движении слева направо), и убывает, когда график идет вниз.

• На промежутке от $(-\infty, 0]$ график-парабола поднимается до своей вершины. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.
• На промежутке от $[0, 1]$ график-парабола опускается от вершины до точки $(1, 0)$. Следовательно, на этом промежутке функция убывает.
• На промежутке от $[1, +\infty)$ график-прямая поднимается вверх. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

Объединяя промежутки возрастания, получаем: $(-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$.

Ответ:

Функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[1, +\infty)$.

Функция убывает на промежутке $[0, 1]$.

11.24. Задайте формулой линейную функцию $f$, если $f(-2)=5$, $f(2)=-3$.

Линейная функция задается формулой вида $f(x) = kx + b$, где $k$ и $b$ — некоторые числа. Чтобы найти формулу для функции $f$, нам нужно определить значения коэффициентов $k$ и $b$.

По условию нам даны два значения функции:

1. $f(-2) = 5$. Это означает, что когда $x = -2$, значение функции равно $5$. Подставив эти значения в общую формулу, получим уравнение: $k \cdot (-2) + b = 5$ или $-2k + b = 5$.

2. $f(2) = -3$. Это означает, что когда $x = 2$, значение функции равно $-3$. Подставив эти значения, получим второе уравнение: $k \cdot 2 + b = -3$ или $2k + b = -3$.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $k$ и $b$:

$\begin{cases} -2k + b = 5 \\ 2k + b = -3 \end{cases}$

Для решения этой системы можно использовать метод сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(-2k + b) + (2k + b) = 5 + (-3)$

При сложении слагаемые $-2k$ и $2k$ взаимно уничтожаются:

$2b = 2$

Отсюда находим $b$:

$b = 1$

Теперь, зная значение $b$, подставим его в любое из исходных уравнений, чтобы найти $k$. Например, подставим $b=1$ во второе уравнение $2k + b = -3$:

$2k + 1 = -3$

Перенесем 1 в правую часть уравнения:

$2k = -3 - 1$

$2k = -4$

Отсюда находим $k$:

$k = \frac{-4}{2} = -2$

Итак, мы нашли коэффициенты: $k = -2$ и $b = 1$.

Подставляем эти значения в общую формулу линейной функции $f(x) = kx + b$ и получаем искомую формулу:

$f(x) = -2x + 1$

Ответ: $f(x) = -2x + 1$.