Номер 11.23, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.23. Постройте график функции $f(x) = \begin{cases} -x^2 + 1, & \text{если } x < 1 \\ x - 1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$ Пользуясь построенным графиком, определите промежутки возрастания и убывания данной функции.

Данная функция $f(x) = \begin{cases} -x^2 + 1, & \text{если } x < 1 \\ x - 1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$ является кусочно-заданной. Для построения ее графика рассмотрим каждую часть отдельно.

1. Построение графика функции $y = -x^2 + 1$ при $x < 1$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты ее вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2(-1)} = 0$

$y_0 = -0^2 + 1 = 1$

Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$. Эта точка удовлетворяет условию $x < 1$.

Найдем несколько контрольных точек для этой части графика:

• При $x = -1$, $y = -(-1)^2 + 1 = 0$. Точка $(-1, 0)$.
• Найдем значение функции на границе промежутка, в точке $x = 1$. $y = -(1)^2 + 1 = 0$. Так как условие строгое ($x < 1$), точка $(1, 0)$ будет выколотой (пустой кружок).

Таким образом, для $x < 1$ график представляет собой часть параболы с вершиной в точке $(0, 1)$, проходящую через точку $(-1, 0)$ и заканчивающуюся в выколотой точке $(1, 0)$.

2. Построение графика функции $y = x - 1$ при $x \ge 1$.

Графиком этой функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек.

• Возьмем начальную точку промежутка $x = 1$. $y = 1 - 1 = 0$. Точка $(1, 0)$ принадлежит графику (закрашенная). Эта точка совпадает с выколотой точкой от параболы, "закрашивая" ее.
• Возьмем еще одну точку, например, $x = 3$. $y = 3 - 1 = 2$. Точка $(3, 2)$.

Для $x \ge 1$ график представляет собой луч, выходящий из точки $(1, 0)$ и проходящий через точку $(3, 2)$.

3. Определение промежутков возрастания и убывания.

Проанализируем построенный график. Функция возрастает, когда ее график идет вверх (при движении слева направо), и убывает, когда график идет вниз.

• На промежутке от $(-\infty, 0]$ график-парабола поднимается до своей вершины. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.
• На промежутке от $[0, 1]$ график-парабола опускается от вершины до точки $(1, 0)$. Следовательно, на этом промежутке функция убывает.
• На промежутке от $[1, +\infty)$ график-прямая поднимается вверх. Следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

Объединяя промежутки возрастания, получаем: $(-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$.

Ответ:

Функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[1, +\infty)$.

Функция убывает на промежутке $[0, 1]$.