Номер 11.19, страница 95 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.19. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $x^2 - 5x + 16 - 3\sqrt{x^2 - 5x + 20} = 0;$

2) $x^2 + 4 - 5\sqrt{x^2 - 2} = 0;$

3) $\sqrt{x^2 - 3x + 5} + x^2 = 3x + 7;$

4) $\sqrt{3x^2 - 9x - 26} = 12 + 3x - x^2;$

5) $2x^2 + 6x - 3\sqrt{x^2 + 3x - 3} = 5;$

6) $\sqrt{x^5\sqrt{x}} + \sqrt[5]{x\sqrt{x}} = 72.$

1) Исходное уравнение: $x^2 - 5x + 16 - 3\sqrt{x^2 - 5x + 20} = 0$.

Заметим, что выражение $x^2 - 5x$ повторяется. Сделаем замену переменной, чтобы упростить уравнение. Пусть $t = \sqrt{x^2 - 5x + 20}$. Так как корень арифметический, должно выполняться условие $t \ge 0$.

Возведем обе части замены в квадрат: $t^2 = x^2 - 5x + 20$. Отсюда выразим $x^2 - 5x = t^2 - 20$.

Подставим это в исходное уравнение:

$(t^2 - 20) + 16 - 3t = 0$

$t^2 - 3t - 4 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $t$. Решим его. По теореме Виета, корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.

Учитывая условие $t \ge 0$, корень $t_2 = -1$ является посторонним. Остается только $t = 4$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x^2 - 5x + 20} = 4$

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 - 5x + 20 = 16$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Проверим область определения исходного уравнения: $x^2 - 5x + 20 \ge 0$. Дискриминант этого трехчлена $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 25 - 80 = -55 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, выражение $x^2 - 5x + 20$ всегда больше нуля. Следовательно, оба корня подходят.

Ответ: 1; 4.

2) Исходное уравнение: $x^2 + 4 - 5\sqrt{x^2 - 2} = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2 - 2}$, при этом $t \ge 0$.

Тогда $t^2 = x^2 - 2$, откуда $x^2 = t^2 + 2$.

Подставим в исходное уравнение:

$(t^2 + 2) + 4 - 5t = 0$

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Решим квадратное уравнение для $t$. По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $t = 2$.

$\sqrt{x^2 - 2} = 2$

$x^2 - 2 = 4$

$x^2 = 6 \implies x = \pm\sqrt{6}$.

Случай 2: $t = 3$.

$\sqrt{x^2 - 2} = 3$

$x^2 - 2 = 9$

$x^2 = 11 \implies x = \pm\sqrt{11}$.

Область определения исходного уравнения: $x^2 - 2 \ge 0$, то есть $x^2 \ge 2$. Все четыре найденных корня удовлетворяют этому условию, так как $6 > 2$ и $11 > 2$.

Ответ: $\pm\sqrt{6}; \pm\sqrt{11}$.

3) Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 - 3x + 5} + x^2 = 3x + 7$.

Перенесем слагаемые, чтобы сгруппировать похожие выражения: $\sqrt{x^2 - 3x + 5} + x^2 - 3x - 7 = 0$.

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{x^2 - 3x + 5}$, где $t \ge 0$.

Тогда $t^2 = x^2 - 3x + 5$, откуда $x^2 - 3x = t^2 - 5$.

Подставим в преобразованное уравнение:

$t + (t^2 - 5) - 7 = 0$

$t^2 + t - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение для $t$. По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -4$.

Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$. Остается $t = 3$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x^2 - 3x + 5} = 3$

$x^2 - 3x + 5 = 9$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Проверим область определения: $x^2 - 3x + 5 \ge 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11 < 0$. Выражение всегда положительно. Оба корня подходят.

Ответ: -1; 4.

4) Исходное уравнение: $\sqrt{3x^2 - 9x - 26} = 12 + 3x - x^2$.

Преобразуем правую часть: $\sqrt{3(x^2 - 3x) - 26} = -(x^2 - 3x - 12)$.

Сделаем замену. Пусть $t = x^2 - 3x$. Уравнение примет вид:

$\sqrt{3t - 26} = 12 - t$.

Найдем область допустимых значений для $t$. Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $3t - 26 \ge 0 \implies t \ge \frac{26}{3}$. Во-вторых, правая часть уравнения (значение арифметического корня) также должна быть неотрицательной: $12 - t \ge 0 \implies t \le 12$. Таким образом, $ \frac{26}{3} \le t \le 12$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$3t - 26 = (12 - t)^2$

$3t - 26 = 144 - 24t + t^2$

$t^2 - 27t + 170 = 0$

Решим квадратное уравнение для $t$. Дискриминант $D = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 170 = 729 - 680 = 49 = 7^2$.

$t_1 = \frac{27 - 7}{2} = 10$, $t_2 = \frac{27 + 7}{2} = 17$.

Проверим корни на принадлежность к ОДЗ для $t$: $\frac{26}{3} \approx 8.67$.

Корень $t_1 = 10$ удовлетворяет условию $8.67 \le 10 \le 12$.

Корень $t_2 = 17$ не удовлетворяет условию $17 \le 12$, это посторонний корень.

Итак, $t = 10$. Выполним обратную замену:

$x^2 - 3x = 10$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.

Ответ: -2; 5.

5) Исходное уравнение: $2x^2 + 6x - 3\sqrt{x^2 + 3x - 3} = 5$.

Заметим, что $2x^2 + 6x = 2(x^2 + 3x)$. Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{x^2 + 3x - 3}$, где $t \ge 0$.

Тогда $t^2 = x^2 + 3x - 3$, откуда $x^2 + 3x = t^2 + 3$.

Подставим в уравнение:

$2(t^2 + 3) - 3t = 5$

$2t^2 + 6 - 3t = 5$

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Решим квадратное уравнение для $t$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

$t_1 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$, $t_2 = \frac{3 + 1}{4} = 1$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $t = 1$.

$\sqrt{x^2 + 3x - 3} = 1 \implies x^2 + 3x - 3 = 1 \implies x^2 + 3x - 4 = 0$. Корни $x_1 = 1, x_2 = -4$.

Случай 2: $t = \frac{1}{2}$.

$\sqrt{x^2 + 3x - 3} = \frac{1}{2} \implies x^2 + 3x - 3 = \frac{1}{4}$.

$4x^2 + 12x - 12 = 1 \implies 4x^2 + 12x - 13 = 0$.

Дискриминант $D = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-13) = 144 + 208 = 352 = 16 \cdot 22$.

Корни $x = \frac{-12 \pm \sqrt{352}}{8} = \frac{-12 \pm 4\sqrt{22}}{8} = \frac{-3 \pm \sqrt{22}}{2}$.

Область определения исходного уравнения: $x^2 + 3x - 3 \ge 0$. Все найденные корни удовлетворяют этому условию.

Ответ: -4; 1; $\frac{-3 - \sqrt{22}}{2}$; $\frac{-3 + \sqrt{22}}{2}$.

6) Исходное уравнение: $\sqrt{x\sqrt[5]{x}} + \sqrt[5]{x\sqrt{x}} = 72$.

Область определения: $x \ge 0$. Заметим, что $x=0$ не является корнем. Значит, $x>0$.

Упростим выражения с помощью свойств степеней:

Первое слагаемое: $\sqrt{x\sqrt[5]{x}} = \sqrt{x \cdot x^{1/5}} = \sqrt{x^{1+1/5}} = \sqrt{x^{6/5}} = (x^{6/5})^{1/2} = x^{3/5}$.

Второе слагаемое: $\sqrt[5]{x\sqrt{x}} = \sqrt[5]{x \cdot x^{1/2}} = \sqrt[5]{x^{1+1/2}} = \sqrt[5]{x^{3/2}} = (x^{3/2})^{1/5} = x^{3/10}$.

Уравнение принимает вид: $x^{3/5} + x^{3/10} = 72$.

Сделаем замену. Пусть $t = x^{3/10}$. Так как $x > 0$, то и $t > 0$.

Тогда $x^{3/5} = (x^{3/10})^2 = t^2$.

Подставим в уравнение:

$t^2 + t = 72$

$t^2 + t - 72 = 0$

Решим квадратное уравнение для $t$. По теореме Виета, корни $t_1 = 8$ и $t_2 = -9$.

Учитывая условие $t > 0$, оставляем только $t = 8$.

Выполним обратную замену:

$x^{3/10} = 8$

Возведем обе части в степень $10/3$:

$x = 8^{10/3} = (8^{1/3})^{10} = 2^{10} = 1024$.

Ответ: 1024.