Номер 11.16, страница 95 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.16. Решите уравнение:

1) $\sqrt{4 - x} + \sqrt{x + 5} = 3;$

2) $\sqrt{2x + 3} + \sqrt{x + 5} = 3.$

1) $\sqrt{4-x} + \sqrt{x+5} = 3$

Решение:

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$4 - x \ge 0 \implies x \le 4$

$x + 5 \ge 0 \implies x \ge -5$

Таким образом, ОДЗ: $-5 \le x \le 4$, или $x \in [-5, 4]$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат. Чтобы упростить вычисления, уединим один из корней:

$\sqrt{4-x} = 3 - \sqrt{x+5}$

Возводим в квадрат обе части. Отметим, что правая часть должна быть неотрицательной: $3 - \sqrt{x+5} \ge 0$, что эквивалентно $\sqrt{x+5} \le 3$, или $x+5 \le 9$, то есть $x \le 4$. Это условие совпадает с частью ОДЗ.

$(\sqrt{4-x})^2 = (3 - \sqrt{x+5})^2$

$4-x = 9 - 6\sqrt{x+5} + (x+5)$

$4-x = 14 + x - 6\sqrt{x+5}$

Теперь уединим оставшийся корень:

$6\sqrt{x+5} = 14 + x - (4-x)$

$6\sqrt{x+5} = 10 + 2x$

Разделим обе части на 2:

$3\sqrt{x+5} = 5 + x$

Снова возведем обе части в квадрат:

$(3\sqrt{x+5})^2 = (5+x)^2$

$9(x+5) = 25 + 10x + x^2$

$9x + 45 = 25 + 10x + x^2$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 + 10x - 9x + 25 - 45 = 0$

$x^2 + x - 20 = 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -1$

$x_1 \cdot x_2 = -20$

Корнями являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -5$.

4. Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ.

ОДЗ: $x \in [-5, 4]$. Оба корня, $x=4$ и $x=-5$, принадлежат ОДЗ.

5. Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение.

При $x=4$: $\sqrt{4-4} + \sqrt{4+5} = \sqrt{0} + \sqrt{9} = 0 + 3 = 3$. Верно.

При $x=-5$: $\sqrt{4-(-5)} + \sqrt{-5+5} = \sqrt{9} + \sqrt{0} = 3 + 0 = 3$. Верно.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $-5; 4$.

2) $\sqrt{2x+3} + \sqrt{x+5} = 3$

Решение:

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$2x + 3 \ge 0 \implies 2x \ge -3 \implies x \ge -1.5$

$x + 5 \ge 0 \implies x \ge -5$

Пересечением этих условий является $x \ge -1.5$. ОДЗ: $x \in [-1.5, +\infty)$.

2. Уединим один из корней и возведем обе части уравнения в квадрат:

$\sqrt{2x+3} = 3 - \sqrt{x+5}$

$(\sqrt{2x+3})^2 = (3 - \sqrt{x+5})^2$

$2x+3 = 9 - 6\sqrt{x+5} + x+5$

$2x+3 = 14 + x - 6\sqrt{x+5}$

Уединим оставшийся корень:

$6\sqrt{x+5} = 14 + x - (2x+3)$

$6\sqrt{x+5} = 11 - x$

Снова возведем обе части в квадрат. Для этого необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $11-x \ge 0$, откуда $x \le 11$. С учетом ОДЗ, ищем решения в интервале $x \in [-1.5, 11]$.

$(6\sqrt{x+5})^2 = (11-x)^2$

$36(x+5) = 121 - 22x + x^2$

$36x + 180 = 121 - 22x + x^2$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 - 22x - 36x + 121 - 180 = 0$

$x^2 - 58x - 59 = 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-58)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-59) = 3364 + 236 = 3600 = 60^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{58 \pm 60}{2}$

$x_1 = \frac{58 + 60}{2} = \frac{118}{2} = 59$

$x_2 = \frac{58 - 60}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

4. Проверим найденные корни.

Корень $x_1 = 59$ не удовлетворяет условию $x \le 11$. Следовательно, $x_1=59$ — посторонний корень.

Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет ОДЗ ($ -1 \ge -1.5$) и условию $x \le 11$.

5. Выполним проверку подстановкой $x=-1$ в исходное уравнение:

$\sqrt{2(-1)+3} + \sqrt{-1+5} = \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3$. Верно.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $-1$.