Номер 11.18, страница 95 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.18. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x+2} + \sqrt{3x+7} = \sqrt{8-x}$;

2) $\sqrt{6x-11} - \sqrt{x-2} = \sqrt{x+3}$.

1) $\sqrt{x+2} + \sqrt{3x+7} = \sqrt{8-x}$

Решение:
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Для этого выражения под знаками квадратного корня должны быть неотрицательными:
$ \begin{cases} x+2 \ge 0 \\ 3x+7 \ge 0 \\ 8-x \ge 0 \end{cases} $
Решая эту систему неравенств, получаем:
$ \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge -7/3 \\ x \le 8 \end{cases} $
Пересечение этих трех условий дает нам ОДЗ: $x \in [-2, 8]$.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат. Так как обе части уравнения неотрицательны на ОДЗ, это является равносильным преобразованием.
$(\sqrt{x+2} + \sqrt{3x+7})^2 = (\sqrt{8-x})^2$
Применяем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(x+2) + 2\sqrt{(x+2)(3x+7)} + (3x+7) = 8-x$
Приводим подобные слагаемые:
$4x + 9 + 2\sqrt{3x^2 + 7x + 6x + 14} = 8-x$
$4x + 9 + 2\sqrt{3x^2 + 13x + 14} = 8-x$

Уединим оставшийся радикал в одной части уравнения:
$2\sqrt{3x^2 + 13x + 14} = 8-x - 4x - 9$
$2\sqrt{3x^2 + 13x + 14} = -5x - 1$

Левая часть этого уравнения ($2\sqrt{...}$) неотрицательна. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной. Это дает нам дополнительное условие:
$-5x - 1 \ge 0 \implies -5x \ge 1 \implies x \le -1/5$.
С учетом ранее найденной ОДЗ ($x \in [-2, 8]$), получаем, что искомый корень должен лежать в промежутке $x \in [-2, -1/5]$.

Теперь снова возведем обе части уравнения в квадрат:
$(2\sqrt{3x^2 + 13x + 14})^2 = (-5x - 1)^2$
$4(3x^2 + 13x + 14) = 25x^2 + 10x + 1$
$12x^2 + 52x + 56 = 25x^2 + 10x + 1$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$13x^2 - 42x - 55 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-42)^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-55) = 1764 + 2860 = 4624 = 68^2$
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{42 - 68}{2 \cdot 13} = \frac{-26}{26} = -1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{42 + 68}{2 \cdot 13} = \frac{110}{26} = \frac{55}{13}$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \in [-2, -1/5]$.
Корень $x_1 = -1$ удовлетворяет условию, так как $-2 \le -1 \le -1/5$.
Корень $x_2 = 55/13 \approx 4.23$ не удовлетворяет условию, так как $55/13 > -1/5$. Следовательно, это посторонний корень.

Проведем проверку, подставив $x = -1$ в исходное уравнение:
$\sqrt{-1+2} + \sqrt{3(-1)+7} = \sqrt{8-(-1)}$
$\sqrt{1} + \sqrt{4} = \sqrt{9}$
$1 + 2 = 3$
$3 = 3$ (верно).
Ответ: -1

2) $\sqrt{6x-11} - \sqrt{x-2} = \sqrt{x+3}$

Решение:
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$ \begin{cases} 6x-11 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \\ x+3 \ge 0 \end{cases} $
Решая систему, получаем:
$ \begin{cases} x \ge 11/6 \\ x \ge 2 \\ x \ge -3 \end{cases} $
Общее решение системы неравенств: $x \ge 2$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [2, \infty)$.

Чтобы упростить возведение в квадрат, перенесем отрицательный член в правую часть уравнения:
$\sqrt{6x-11} = \sqrt{x+3} + \sqrt{x-2}$
Теперь обе части уравнения неотрицательны. Возведем их в квадрат:
$(\sqrt{6x-11})^2 = (\sqrt{x+3} + \sqrt{x-2})^2$
$6x-11 = (x+3) + 2\sqrt{(x+3)(x-2)} + (x-2)$
$6x-11 = 2x + 1 + 2\sqrt{x^2+x-6}$

Уединим радикал:
$6x-11 - 2x - 1 = 2\sqrt{x^2+x-6}$
$4x - 12 = 2\sqrt{x^2+x-6}$
Разделим обе части на 2:
$2x - 6 = \sqrt{x^2+x-6}$

Левая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна значению квадратного корня:
$2x - 6 \ge 0 \implies 2x \ge 6 \implies x \ge 3$.
С учетом ОДЗ ($x \ge 2$), получаем более сильное ограничение для корней: $x \ge 3$.

Снова возведем обе части в квадрат:
$(2x-6)^2 = (\sqrt{x^2+x-6})^2$
$4x^2 - 24x + 36 = x^2 + x - 6$
Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:
$3x^2 - 25x + 42 = 0$

Решим это уравнение:
$D = (-25)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 42 = 625 - 504 = 121 = 11^2$
$x_1 = \frac{25 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$
$x_2 = \frac{25 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6$

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 3$.
Корень $x_1 = 7/3 \approx 2.33$. Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 3$, значит, он посторонний.
Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет условию $x \ge 3$.

Выполним проверку для $x = 6$:
$\sqrt{6(6)-11} - \sqrt{6-2} = \sqrt{6+3}$
$\sqrt{36-11} - \sqrt{4} = \sqrt{9}$
$\sqrt{25} - 2 = 3$
$5 - 2 = 3$
$3 = 3$ (верно).
Ответ: 6