Номер 12.1, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 2. Степенная функция. Параграф 12. Метод равносильных преобразований для решения иррациональных уравнений - номер 12.1, страница 99.

Условие.

12.1. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+4} = 6;$

2) $\sqrt{2x+3} \cdot \sqrt{x-2} = 3;$

3) $\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+2} = 4;$

4) $\sqrt{x} \cdot \sqrt{1-x} = x;$

5) $\frac{x-2}{\sqrt{2x-7}} = \sqrt{x-4};$

6) $\sqrt{x-9} + \sqrt{x} = \frac{36}{\sqrt{x-9}};$

7) $\sqrt{7-x} + \frac{12}{\sqrt{7-x}} = 2\sqrt{5x+37}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+4} = 6$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$
$x+4 \ge 0 \implies x \ge -4$
Пересекая эти условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.
На ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:
$(\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+4})^2 = 6^2$
$\sqrt{(x-1)(x+4)}^2 = 36$
$(x-1)(x+4) = 36$
$x^2 + 4x - x - 4 = 36$
$x^2 + 3x - 40 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169 = 13^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-3 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{-3 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8$
Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ ($x \ge 1$).
Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию $5 \ge 1$.
Корень $x_2 = -8$ не удовлетворяет условию $-8 \ge 1$, поэтому является посторонним.
Ответ: $5$.

2) $\sqrt{2x+3} \cdot \sqrt{x-2} = 3$
ОДЗ:
$2x+3 \ge 0 \implies 2x \ge -3 \implies x \ge -1.5$
$x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$
Общая ОДЗ: $x \ge 2$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{2x+3} \cdot \sqrt{x-2})^2 = 3^2$
$(2x+3)(x-2) = 9$
$2x^2 - 4x + 3x - 6 = 9$
$2x^2 - x - 15 = 0$
Решим квадратное уравнение. $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.
$x_1 = \frac{1 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$
$x_2 = \frac{1 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5$
Проверка по ОДЗ ($x \ge 2$):
$x_1 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = -2.5$ не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $3$.

3) $\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+2} = 4$
ОДЗ:
$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$
$x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$
Общая ОДЗ: $x \ge -1$.
Возведем обе части в квадрат:
$(x+1)(x+2) = 4^2$
$x^2 + 2x + x + 2 = 16$
$x^2 + 3x - 14 = 0$
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 9 + 56 = 65$.
$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{65}}{2}$
$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{65}}{2}$
Проверка по ОДЗ ($x \ge -1$):
Так как $\sqrt{64} < \sqrt{65} < \sqrt{81}$, то $8 < \sqrt{65} < 9$.
$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{65}}{2} > \frac{-3+8}{2} = 2.5$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{65}}{2} < \frac{-3-8}{2} = -5.5$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $\frac{-3 + \sqrt{65}}{2}$.

4) $\sqrt{x} \cdot \sqrt{1-x} = x$
ОДЗ:
$x \ge 0$
$1-x \ge 0 \implies x \le 1$
Общая ОДЗ: $0 \le x \le 1$.
Запишем уравнение как $\sqrt{x(1-x)} = x$.
Очевидно, что $x=0$ является корнем: $\sqrt{0}\cdot\sqrt{1-0} = 0 \implies 0=0$. Верно.
Рассмотрим случай $x \neq 0$. На ОДЗ ($0 < x \le 1$) обе части уравнения неотрицательны, поэтому их можно возвести в квадрат:
$x(1-x) = x^2$
$x - x^2 = x^2$
$x - 2x^2 = 0$
$x(1-2x) = 0$
Отсюда $x=0$ (уже найденный корень) или $1-2x=0 \implies 2x=1 \implies x = \frac{1}{2}$.
Корень $x = \frac{1}{2}$ принадлежит ОДЗ.
Ответ: $0; \frac{1}{2}$.

5) $\frac{x-2}{\sqrt{2x-7}} = \sqrt{x-4}$
ОДЗ:
$2x-7 > 0 \implies x > 3.5$
$x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$
Общая ОДЗ: $x \ge 4$.
На ОДЗ правая часть $\sqrt{x-4} \ge 0$ и знаменатель $\sqrt{2x-7} > 0$. Следовательно, числитель $x-2$ должен быть неотрицателен: $x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$. Это условие выполняется в рамках ОДЗ.
Домножим обе части на $\sqrt{2x-7}$:
$x-2 = \sqrt{x-4} \cdot \sqrt{2x-7}$
Возведем обе части в квадрат:
$(x-2)^2 = (x-4)(2x-7)$
$x^2 - 4x + 4 = 2x^2 - 7x - 8x + 28$
$x^2 - 4x + 4 = 2x^2 - 15x + 28$
$x^2 - 11x + 24 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 11, а произведение 24. Корни: $x_1=3$, $x_2=8$.
Проверка по ОДЗ ($x \ge 4$):
$x_1=3$ не удовлетворяет ОДЗ.
$x_2=8$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $8$.

6) $\sqrt{x-9} + \sqrt{x} = \frac{36}{\sqrt{x-9}}$
ОДЗ:
$x-9 > 0 \implies x > 9$
$x \ge 0$
Общая ОДЗ: $x > 9$.
Домножим обе части на $\sqrt{x-9}$ (на ОДЗ он не равен нулю):
$(\sqrt{x-9})^2 + \sqrt{x}\sqrt{x-9} = 36$
$x-9 + \sqrt{x(x-9)} = 36$
$\sqrt{x^2 - 9x} = 36 - x + 9$
$\sqrt{x^2 - 9x} = 45 - x$
Для возведения в квадрат правая часть должна быть неотрицательной:
$45 - x \ge 0 \implies x \le 45$.
С учетом ОДЗ, получаем ограничение $9 < x \le 45$.
Возводим в квадрат:
$x^2 - 9x = (45 - x)^2$
$x^2 - 9x = 2025 - 90x + x^2$
$-9x = 2025 - 90x$
$81x = 2025$
$x = \frac{2025}{81} = 25$
Корень $x=25$ удовлетворяет условию $9 < 25 \le 45$.
Ответ: $25$.

7) $\sqrt{7-x} + \frac{12}{\sqrt{7-x}} = 2\sqrt{5x+37}$
ОДЗ:
$7-x > 0 \implies x < 7$
$5x+37 \ge 0 \implies 5x \ge -37 \implies x \ge -7.4$
Общая ОДЗ: $-7.4 \le x < 7$.
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{(\sqrt{7-x})^2 + 12}{\sqrt{7-x}} = 2\sqrt{5x+37}$
$\frac{7-x+12}{\sqrt{7-x}} = 2\sqrt{5x+37}$
$\frac{19-x}{\sqrt{7-x}} = 2\sqrt{5x+37}$
На ОДЗ правая часть неотрицательна, знаменатель левой части положителен. Значит, числитель $19-x$ должен быть неотрицателен: $19-x \ge 0 \implies x \le 19$. Это условие выполняется для всех $x$ из ОДЗ.
Возведем обе части в квадрат:
$\frac{(19-x)^2}{7-x} = 4(5x+37)$
$361 - 38x + x^2 = 4(7-x)(5x+37)$
$361 - 38x + x^2 = 4(35x + 259 - 5x^2 - 37x)$
$361 - 38x + x^2 = 4(-5x^2 - 2x + 259)$
$361 - 38x + x^2 = -20x^2 - 8x + 1036$
$21x^2 - 30x - 675 = 0$
Разделим уравнение на 3:
$7x^2 - 10x - 225 = 0$
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-225) = 100 + 6300 = 6400 = 80^2$.
$x_1 = \frac{10 + 80}{14} = \frac{90}{14} = \frac{45}{7}$
$x_2 = \frac{10 - 80}{14} = \frac{-70}{14} = -5$
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($-7.4 \le x < 7$):
$x_1 = \frac{45}{7} \approx 6.43$. Корень удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = -5$. Корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-5; \frac{45}{7}$.