Номер 12.1, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2021 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий, красный

ISBN: 978-5-09-087861-6

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика. Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Параграф 12. Метод равносильных преобразований для решения иррациональных уравнений. Глава 2. Степенная функция - номер 12.1, страница 99.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№12.1 (с. 99)
Условие. №12.1 (с. 99)
скриншот условия
ГДЗ Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, страница 99, номер 12.1, Условие

12.1. Решите уравнение:

1) x1x+4=6;\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+4} = 6;

2) 2x+3x2=3;\sqrt{2x+3} \cdot \sqrt{x-2} = 3;

3) x+1x+2=4;\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+2} = 4;

4) x1x=x;\sqrt{x} \cdot \sqrt{1-x} = x;

5) x22x7=x4;\frac{x-2}{\sqrt{2x-7}} = \sqrt{x-4};

6) x9+x=36x9;\sqrt{x-9} + \sqrt{x} = \frac{36}{\sqrt{x-9}};

7) 7x+127x=25x+37.\sqrt{7-x} + \frac{12}{\sqrt{7-x}} = 2\sqrt{5x+37}.

Решение 1. №12.1 (с. 99)
ГДЗ Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, страница 99, номер 12.1, Решение 1 ГДЗ Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, страница 99, номер 12.1, Решение 1 (продолжение 2) ГДЗ Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, страница 99, номер 12.1, Решение 1 (продолжение 3) ГДЗ Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, страница 99, номер 12.1, Решение 1 (продолжение 4) ГДЗ Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, страница 99, номер 12.1, Решение 1 (продолжение 5) ГДЗ Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, страница 99, номер 12.1, Решение 1 (продолжение 6) ГДЗ Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, страница 99, номер 12.1, Решение 1 (продолжение 7)
Решение 2. №12.1 (с. 99)
ГДЗ Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, страница 99, номер 12.1, Решение 2
Решение 3. №12.1 (с. 99)
ГДЗ Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, страница 99, номер 12.1, Решение 3 ГДЗ Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, страница 99, номер 12.1, Решение 3 (продолжение 2) ГДЗ Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, страница 99, номер 12.1, Решение 3 (продолжение 3) ГДЗ Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, страница 99, номер 12.1, Решение 3 (продолжение 4)
Решение 4. №12.1 (с. 99)
ГДЗ Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Полонский Виталий Борисович, Якир Михаил Семёнович, издательство Просвещение, Москва, 2021, страница 99, номер 12.1, Решение 4
Решение 5. №12.1 (с. 99)

1) x1x+4=6\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+4} = 6
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
x10    x1x-1 \ge 0 \implies x \ge 1
x+40    x4x+4 \ge 0 \implies x \ge -4
Пересекая эти условия, получаем ОДЗ: x1x \ge 1.
На ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:
(x1x+4)2=62(\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+4})^2 = 6^2
(x1)(x+4)2=36\sqrt{(x-1)(x+4)}^2 = 36
(x1)(x+4)=36(x-1)(x+4) = 36
x2+4xx4=36x^2 + 4x - x - 4 = 36
x2+3x40=0x^2 + 3x - 40 = 0
Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: D=b24ac=3241(40)=9+160=169=132D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169 = 13^2.
Найдем корни уравнения:
x1=3+1321=102=5x_1 = \frac{-3 + 13}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5
x2=31321=162=8x_2 = \frac{-3 - 13}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8
Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ (x1x \ge 1).
Корень x1=5x_1 = 5 удовлетворяет условию 515 \ge 1.
Корень x2=8x_2 = -8 не удовлетворяет условию 81-8 \ge 1, поэтому является посторонним.
Ответ: 55.

2) 2x+3x2=3\sqrt{2x+3} \cdot \sqrt{x-2} = 3
ОДЗ:
2x+30    2x3    x1.52x+3 \ge 0 \implies 2x \ge -3 \implies x \ge -1.5
x20    x2x-2 \ge 0 \implies x \ge 2
Общая ОДЗ: x2x \ge 2.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
(2x+3x2)2=32(\sqrt{2x+3} \cdot \sqrt{x-2})^2 = 3^2
(2x+3)(x2)=9(2x+3)(x-2) = 9
2x24x+3x6=92x^2 - 4x + 3x - 6 = 9
2x2x15=02x^2 - x - 15 = 0
Решим квадратное уравнение. D=(1)242(15)=1+120=121=112D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 = 11^2.
x1=1+1122=124=3x_1 = \frac{1 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3
x2=11122=104=2.5x_2 = \frac{1 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5
Проверка по ОДЗ (x2x \ge 2):
x1=3x_1 = 3 удовлетворяет ОДЗ.
x2=2.5x_2 = -2.5 не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 33.

3) x+1x+2=4\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+2} = 4
ОДЗ:
x+10    x1x+1 \ge 0 \implies x \ge -1
x+20    x2x+2 \ge 0 \implies x \ge -2
Общая ОДЗ: x1x \ge -1.
Возведем обе части в квадрат:
(x+1)(x+2)=42(x+1)(x+2) = 4^2
x2+2x+x+2=16x^2 + 2x + x + 2 = 16
x2+3x14=0x^2 + 3x - 14 = 0
D=3241(14)=9+56=65D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 9 + 56 = 65.
x1=3+652x_1 = \frac{-3 + \sqrt{65}}{2}
x2=3652x_2 = \frac{-3 - \sqrt{65}}{2}
Проверка по ОДЗ (x1x \ge -1):
Так как 64<65<81\sqrt{64} < \sqrt{65} < \sqrt{81}, то 8<65<98 < \sqrt{65} < 9.
x1=3+652>3+82=2.5x_1 = \frac{-3 + \sqrt{65}}{2} > \frac{-3+8}{2} = 2.5. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.
x2=3652<382=5.5x_2 = \frac{-3 - \sqrt{65}}{2} < \frac{-3-8}{2} = -5.5. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 3+652\frac{-3 + \sqrt{65}}{2}.

4) x1x=x\sqrt{x} \cdot \sqrt{1-x} = x
ОДЗ:
x0x \ge 0
1x0    x11-x \ge 0 \implies x \le 1
Общая ОДЗ: 0x10 \le x \le 1.
Запишем уравнение как x(1x)=x\sqrt{x(1-x)} = x.
Очевидно, что x=0x=0 является корнем: 010=0    0=0\sqrt{0}\cdot\sqrt{1-0} = 0 \implies 0=0. Верно.
Рассмотрим случай x0x \neq 0. На ОДЗ (0<x10 < x \le 1) обе части уравнения неотрицательны, поэтому их можно возвести в квадрат:
x(1x)=x2x(1-x) = x^2
xx2=x2x - x^2 = x^2
x2x2=0x - 2x^2 = 0
x(12x)=0x(1-2x) = 0
Отсюда x=0x=0 (уже найденный корень) или 12x=0    2x=1    x=121-2x=0 \implies 2x=1 \implies x = \frac{1}{2}.
Корень x=12x = \frac{1}{2} принадлежит ОДЗ.
Ответ: 0;120; \frac{1}{2}.

5) x22x7=x4\frac{x-2}{\sqrt{2x-7}} = \sqrt{x-4}
ОДЗ:
2x7>0    x>3.52x-7 > 0 \implies x > 3.5
x40    x4x-4 \ge 0 \implies x \ge 4
Общая ОДЗ: x4x \ge 4.
На ОДЗ правая часть x40\sqrt{x-4} \ge 0 и знаменатель 2x7>0\sqrt{2x-7} > 0. Следовательно, числитель x2x-2 должен быть неотрицателен: x20    x2x-2 \ge 0 \implies x \ge 2. Это условие выполняется в рамках ОДЗ.
Домножим обе части на 2x7\sqrt{2x-7}:
x2=x42x7x-2 = \sqrt{x-4} \cdot \sqrt{2x-7}
Возведем обе части в квадрат:
(x2)2=(x4)(2x7)(x-2)^2 = (x-4)(2x-7)
x24x+4=2x27x8x+28x^2 - 4x + 4 = 2x^2 - 7x - 8x + 28
x24x+4=2x215x+28x^2 - 4x + 4 = 2x^2 - 15x + 28
x211x+24=0x^2 - 11x + 24 = 0
По теореме Виета, сумма корней равна 11, а произведение 24. Корни: x1=3x_1=3, x2=8x_2=8.
Проверка по ОДЗ (x4x \ge 4):
x1=3x_1=3 не удовлетворяет ОДЗ.
x2=8x_2=8 удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 88.

6) x9+x=36x9\sqrt{x-9} + \sqrt{x} = \frac{36}{\sqrt{x-9}}
ОДЗ:
x9>0    x>9x-9 > 0 \implies x > 9
x0x \ge 0
Общая ОДЗ: x>9x > 9.
Домножим обе части на x9\sqrt{x-9} (на ОДЗ он не равен нулю):
(x9)2+xx9=36(\sqrt{x-9})^2 + \sqrt{x}\sqrt{x-9} = 36
x9+x(x9)=36x-9 + \sqrt{x(x-9)} = 36
x29x=36x+9\sqrt{x^2 - 9x} = 36 - x + 9
x29x=45x\sqrt{x^2 - 9x} = 45 - x
Для возведения в квадрат правая часть должна быть неотрицательной:
45x0    x4545 - x \ge 0 \implies x \le 45.
С учетом ОДЗ, получаем ограничение 9<x459 < x \le 45.
Возводим в квадрат:
x29x=(45x)2x^2 - 9x = (45 - x)^2
x29x=202590x+x2x^2 - 9x = 2025 - 90x + x^2
9x=202590x-9x = 2025 - 90x
81x=202581x = 2025
x=202581=25x = \frac{2025}{81} = 25
Корень x=25x=25 удовлетворяет условию 9<25459 < 25 \le 45.
Ответ: 2525.

7) 7x+127x=25x+37\sqrt{7-x} + \frac{12}{\sqrt{7-x}} = 2\sqrt{5x+37}
ОДЗ:
7x>0    x<77-x > 0 \implies x < 7
5x+370    5x37    x7.45x+37 \ge 0 \implies 5x \ge -37 \implies x \ge -7.4
Общая ОДЗ: 7.4x<7-7.4 \le x < 7.
Приведем левую часть к общему знаменателю:
(7x)2+127x=25x+37\frac{(\sqrt{7-x})^2 + 12}{\sqrt{7-x}} = 2\sqrt{5x+37}
7x+127x=25x+37\frac{7-x+12}{\sqrt{7-x}} = 2\sqrt{5x+37}
19x7x=25x+37\frac{19-x}{\sqrt{7-x}} = 2\sqrt{5x+37}
На ОДЗ правая часть неотрицательна, знаменатель левой части положителен. Значит, числитель 19x19-x должен быть неотрицателен: 19x0    x1919-x \ge 0 \implies x \le 19. Это условие выполняется для всех xx из ОДЗ.
Возведем обе части в квадрат:
(19x)27x=4(5x+37)\frac{(19-x)^2}{7-x} = 4(5x+37)
36138x+x2=4(7x)(5x+37)361 - 38x + x^2 = 4(7-x)(5x+37)
36138x+x2=4(35x+2595x237x)361 - 38x + x^2 = 4(35x + 259 - 5x^2 - 37x)
36138x+x2=4(5x22x+259)361 - 38x + x^2 = 4(-5x^2 - 2x + 259)
36138x+x2=20x28x+1036361 - 38x + x^2 = -20x^2 - 8x + 1036
21x230x675=021x^2 - 30x - 675 = 0
Разделим уравнение на 3:
7x210x225=07x^2 - 10x - 225 = 0
D=(10)247(225)=100+6300=6400=802D = (-10)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-225) = 100 + 6300 = 6400 = 80^2.
x1=10+8014=9014=457x_1 = \frac{10 + 80}{14} = \frac{90}{14} = \frac{45}{7}
x2=108014=7014=5x_2 = \frac{10 - 80}{14} = \frac{-70}{14} = -5
Проверим корни на соответствие ОДЗ (7.4x<7-7.4 \le x < 7):
x1=4576.43x_1 = \frac{45}{7} \approx 6.43. Корень удовлетворяет ОДЗ.
x2=5x_2 = -5. Корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 5;457-5; \frac{45}{7}.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 12.1 расположенного на странице 99 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №12.1 (с. 99), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться