Номер 12.2, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.2. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x+2} \cdot \sqrt{x+8} = 4;$

2) $x-1 = \sqrt{2x-5} \cdot \sqrt{x+1};$

3) $\frac{x+3}{\sqrt{x-1}} = \sqrt{3x+1};$

4) $\frac{12}{\sqrt{x+10}} - \sqrt{2x+3} = \sqrt{x+10}.$

1) Дано уравнение $\sqrt{x+2} \cdot \sqrt{x+8} = 4$. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$ $x+8 \ge 0 \implies x \ge -8$ Общая ОДЗ: $x \ge -2$. Объединим корни в левой части уравнения: $\sqrt{(x+2)(x+8)} = 4$. Так как обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат: $(x+2)(x+8) = 4^2$ $x^2 + 8x + 2x + 16 = 16$ $x^2 + 10x = 0$ Вынесем $x$ за скобки: $x(x+10) = 0$ Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -10$. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -2$). Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию, так как $0 \ge -2$. Корень $x_2 = -10$ не удовлетворяет условию, так как $-10 < -2$, и является посторонним. Следовательно, уравнение имеет единственное решение. Ответ: $x=0$.

2) Дано уравнение $x - 1 = \sqrt{2x-5} \cdot \sqrt{x+1}$. Найдем ОДЗ. Выражения под корнями должны быть неотрицательными, а также левая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна произведению корней. $2x-5 \ge 0 \implies 2x \ge 5 \implies x \ge 2.5$ $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$ $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$ Общая ОДЗ для уравнения: $x \ge 2.5$. Объединим корни в правой части: $x-1 = \sqrt{(2x-5)(x+1)}$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $(x-1)^2 = (2x-5)(x+1)$ $x^2 - 2x + 1 = 2x^2 + 2x - 5x - 5$ $x^2 - 2x + 1 = 2x^2 - 3x - 5$ Приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение: $x^2 - x - 6 = 0$ Решим уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 2.5$). Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию ($3 \ge 2.5$). Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию ($-2 < 2.5$), значит, это посторонний корень. Ответ: $x=3$.

3) Дано уравнение $\frac{x+3}{\sqrt{x-1}} = \sqrt{3x+1}$. Найдем ОДЗ. Знаменатель не может быть равен нулю, а выражения под корнями должны быть неотрицательными. $x-1 > 0 \implies x > 1$ $3x+1 \ge 0 \implies 3x \ge -1 \implies x \ge -1/3$ Общая ОДЗ: $x > 1$. При $x > 1$ обе части уравнения положительны. Умножим обе части на $\sqrt{x-1}$: $x+3 = \sqrt{3x+1} \cdot \sqrt{x-1}$ $x+3 = \sqrt{(3x+1)(x-1)}$ Возведем обе части в квадрат: $(x+3)^2 = (3x+1)(x-1)$ $x^2 + 6x + 9 = 3x^2 - 3x + x - 1$ $x^2 + 6x + 9 = 3x^2 - 2x - 1$ Перенесем все члены в одну сторону: $2x^2 - 8x - 10 = 0$ Разделим уравнение на 2: $x^2 - 4x - 5 = 0$ Найдем корни квадратного уравнения. По теореме Виета: $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 1$). Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию ($5 > 1$). Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию ($-1 \ngtr 1$), поэтому является посторонним. Ответ: $x=5$.

4) Дано уравнение $\frac{12}{\sqrt{x+10}} - \sqrt{2x+3} = \sqrt{x+10}$. Найдем ОДЗ. $x+10 > 0 \implies x > -10$ $2x+3 \ge 0 \implies 2x \ge -3 \implies x \ge -1.5$ Общая ОДЗ: $x \ge -1.5$. Перенесем член $\sqrt{2x+3}$ в правую часть: $\frac{12}{\sqrt{x+10}} = \sqrt{x+10} + \sqrt{2x+3}$ Умножим обе части уравнения на $\sqrt{x+10}$ (при $x \ge -1.5$ этот множитель положителен): $12 = (\sqrt{x+10})^2 + \sqrt{2x+3}\sqrt{x+10}$ $12 = x+10 + \sqrt{(2x+3)(x+10)}$ Изолируем радикал: $12 - x - 10 = \sqrt{(2x+3)(x+10)}$ $2 - x = \sqrt{2x^2 + 20x + 3x + 30}$ $2 - x = \sqrt{2x^2 + 23x + 30}$ Для возведения в квадрат необходимо, чтобы левая часть была неотрицательной: $2 - x \ge 0 \implies x \le 2$. С учетом ОДЗ получаем ограничение на $x$: $-1.5 \le x \le 2$. Возводим в квадрат: $(2-x)^2 = 2x^2 + 23x + 30$ $4 - 4x + x^2 = 2x^2 + 23x + 30$ Приводим к стандартному виду квадратного уравнения: $x^2 + 27x + 26 = 0$ Решаем уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -26$. Проверим корни на соответствие условию $-1.5 \le x \le 2$. Корень $x_1 = -1$ удовлетворяет условию ($-1.5 \le -1 \le 2$). Корень $x_2 = -26$ не удовлетворяет условию, является посторонним. Ответ: $x=-1$.