Номер 12.3, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.3. Решите уравнение:

1) $\sqrt{4 + 2x - x^2} = x - 2;$

2) $\sqrt{6 - 4x - x^2} = x + 4;$

3) $\sqrt{x^2 + 8} = 2x + 1;$

4) $\sqrt{2x^2 - 7x + 5} = 1 - x;$

5) $\sqrt{x} = x - 1;$

6) $\sqrt{x^2 - 1} = 3 - 2x.$

1) Дано уравнение $\sqrt{4 + 2x - x^2} = x - 2$.

Данное иррациональное уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе, состоящей из уравнения, полученного возведением в квадрат обеих частей исходного, и неравенства, которое является условием неотрицательности правой части:

$\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 4 + 2x - x^2 = (x - 2)^2 \end{cases}$

Сначала решим неравенство, чтобы определить область допустимых значений переменной $x$:

$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

Теперь решим уравнение:

$4 + 2x - x^2 = x^2 - 4x + 4$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = (x^2 - 4x + 4) - (4 + 2x - x^2)$

$0 = 2x^2 - 6x$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x - 3) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 2$.

Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет этому условию, так как $0 < 2$, значит, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет условию, так как $3 \ge 2$.

Ответ: $3$.

2) Дано уравнение $\sqrt{6 - 4x - x^2} = x + 4$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x + 4 \ge 0 \\ 6 - 4x - x^2 = (x + 4)^2 \end{cases}$

Решим неравенство:

$x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$.

Решим уравнение:

$6 - 4x - x^2 = x^2 + 8x + 16$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = (x^2 + 8x + 16) - (6 - 4x - x^2)$

$0 = 2x^2 + 12x + 10$

Разделим обе части на 2:

$x^2 + 6x + 5 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = -5$, $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие условию $x \ge -4$.

Корень $x_1 = -5$ не удовлетворяет условию, так как $-5 < -4$. Это посторонний корень.

Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет условию, так как $-1 \ge -4$.

Ответ: $-1$.

3) Дано уравнение $\sqrt{x^2 + 8} = 2x + 1$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 2x + 1 \ge 0 \\ x^2 + 8 = (2x + 1)^2 \end{cases}$

Решим неравенство:

$2x + 1 \ge 0 \implies 2x \ge -1 \implies x \ge -1/2$.

Решим уравнение:

$x^2 + 8 = 4x^2 + 4x + 1$

$0 = 3x^2 + 4x - 7$

Найдем дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 10}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$

$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 10}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Проверим корни на соответствие условию $x \ge -1/2$.

Корень $x_1 = -7/3$ не удовлетворяет условию, так как $-7/3 \approx -2.33 < -0.5$. Это посторонний корень.

Корень $x_2 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 \ge -0.5$.

Ответ: $1$.

4) Дано уравнение $\sqrt{2x^2 - 7x + 5} = 1 - x$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 1 - x \ge 0 \\ 2x^2 - 7x + 5 = (1 - x)^2 \end{cases}$

Решим неравенство:

$1 - x \ge 0 \implies x \le 1$.

Решим уравнение:

$2x^2 - 7x + 5 = 1 - 2x + x^2$

$2x^2 - x^2 - 7x + 2x + 5 - 1 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Проверим корни на соответствие условию $x \le 1$.

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 \le 1$.

Корень $x_2 = 4$ не удовлетворяет условию, так как $4 > 1$. Это посторонний корень.

Ответ: $1$.

5) Дано уравнение $\sqrt{x} = x - 1$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ x = (x - 1)^2 \end{cases}$

Решим неравенство:

$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

Решим уравнение:

$x = x^2 - 2x + 1$

$0 = x^2 - 3x + 1$

Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

$x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Проверим корни на соответствие условию $x \ge 1$.

Так как $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, то $2 < \sqrt{5} < 3$.

Для корня $x_1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$: $3 - \sqrt{5}$ будет меньше 1 ($3-2.23.. \approx 0.77$), значит $\frac{3 - \sqrt{5}}{2} < 1$. Этот корень не удовлетворяет условию.

Для корня $x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$: $3 + \sqrt{5}$ будет больше 2 ($3+2.23.. \approx 5.23$), значит $\frac{3 + \sqrt{5}}{2} > 1$. Этот корень удовлетворяет условию.

Ответ: $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.

6) Дано уравнение $\sqrt{x^2 - 1} = 3 - 2x$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 3 - 2x \ge 0 \\ x^2 - 1 = (3 - 2x)^2 \end{cases}$

Решим неравенство:

$3 - 2x \ge 0 \implies 3 \ge 2x \implies x \le 3/2$.

Решим уравнение:

$x^2 - 1 = 9 - 12x + 4x^2$

$0 = 3x^2 - 12x + 10$

Найдем дискриминант: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 144 - 120 = 24$.

Найдем корни:

$x = \frac{12 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 3} = \frac{12 \pm 2\sqrt{6}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{6}}{3}$

$x_1 = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$

$x_2 = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$

Проверим корни на соответствие условию $x \le 3/2$ (или $x \le 1.5$).

Так как $2 < \sqrt{6} < 3$ (ближе к 2.45), то:

$x_1 = \frac{6 - \sqrt{6}}{3} \approx \frac{6 - 2.45}{3} = \frac{3.55}{3} \approx 1.18$. Так как $1.18 < 1.5$, этот корень подходит.

$x_2 = \frac{6 + \sqrt{6}}{3} \approx \frac{6 + 2.45}{3} = \frac{8.45}{3} \approx 2.82$. Так как $2.82 > 1.5$, этот корень не подходит.

Ответ: $\frac{6 - \sqrt{6}}{3}$.