Номер 11.20, страница 95 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.20. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $x^2 - 4x - 3\sqrt{x^2 - 4x + 20} + 10 = 0;$

2) $2\sqrt{x^2 - 3x + 11} = 4 + 3x - x^2;$

3) $\sqrt{2x^2 - 6x + 40} = x^2 - 3x + 8;$

4) $5x^2 + 10x + \sqrt{x^2 + 2x - 15} = 123.$

1) $x^2 - 4x - 3\sqrt{x^2 - 4x + 20} + 10 = 0$.
Заметим, что выражение $x^2 - 4x$ повторяется. Сделаем замену, чтобы упростить уравнение.
Пусть $t = \sqrt{x^2 - 4x + 20}$. Поскольку корень арифметический, $t \ge 0$.
Выразим $x^2 - 4x$ через $t$. Возведем обе части замены в квадрат:
$t^2 = x^2 - 4x + 20$, откуда $x^2 - 4x = t^2 - 20$.
Подставим это в исходное уравнение:
$(t^2 - 20) - 3t + 10 = 0$
$t^2 - 3t - 10 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$ с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $3$, произведение равно $-10$. Корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -2$.
Поскольку $t \ge 0$, корень $t = -2$ является посторонним. Используем $t = 5$.
Вернемся к исходной переменной:
$\sqrt{x^2 - 4x + 20} = 5$
Возведем обе части в квадрат:
$x^2 - 4x + 20 = 25$
$x^2 - 4x - 5 = 0$
Снова решим квадратное уравнение. Корни по теореме Виета: $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.
Подкоренное выражение $x^2 - 4x + 20$ всегда положительно (дискриминант $D = 16 - 80 = -64 < 0$), поэтому область допустимых значений $x$ — все действительные числа. Оба корня подходят.
Ответ: $-1; 5$.

2) $2\sqrt{x^2 - 3x + 11} = 4 + 3x - x^2$.
Перепишем уравнение в виде $2\sqrt{x^2 - 3x + 11} = 4 - (x^2 - 3x)$.
Сделаем замену $t = \sqrt{x^2 - 3x + 11}$. Так как $t$ — арифметический корень, $t \ge 0$.
Тогда $t^2 = x^2 - 3x + 11$, откуда $x^2 - 3x = t^2 - 11$.
Подставляем в уравнение:
$2t = 4 - (t^2 - 11)$
$2t = 4 - t^2 + 11$
$t^2 + 2t - 15 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -5$.
Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только $t = 3$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt{x^2 - 3x + 11} = 3$
Возведем в квадрат:
$x^2 - 3x + 11 = 9$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
Корни этого уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Проверим, что правая часть исходного уравнения неотрицательна: $4 + 3x - x^2 \ge 0$.
При $x=1$: $4 + 3(1) - 1^2 = 6 > 0$. Корень подходит.
При $x=2$: $4 + 3(2) - 2^2 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0$. Корень подходит.
Ответ: $1; 2$.

3) $\sqrt{2x^2 - 6x + 40} = x^2 - 3x + 8$.
Заметим, что $2x^2 - 6x = 2(x^2 - 3x)$.
Пусть $y = x^2 - 3x$. Тогда уравнение примет вид:
$\sqrt{2y + 40} = y + 8$.
Левая часть уравнения (корень) неотрицательна, значит и правая часть должна быть неотрицательной: $y + 8 \ge 0$, то есть $y \ge -8$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$2y + 40 = (y + 8)^2$
$2y + 40 = y^2 + 16y + 64$
$y^2 + 14y + 24 = 0$
По теореме Виета, корни $y_1 = -2$ и $y_2 = -12$.
Условию $y \ge -8$ удовлетворяет только $y = -2$.
Вернемся к переменной $x$:
$x^2 - 3x = -2$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
Корни этого уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Оба корня являются решениями исходного уравнения.
Ответ: $1; 2$.

4) $5x^2 + 10x + \sqrt{x^2 + 2x - 15} = 123$.
Вынесем $5$ за скобки в первых двух слагаемых: $5(x^2 + 2x) + \sqrt{x^2 + 2x - 15} = 123$.
Сделаем замену $t = \sqrt{x^2 + 2x - 15}$. Условие: $t \ge 0$.
Возведем замену в квадрат: $t^2 = x^2 + 2x - 15$, откуда $x^2 + 2x = t^2 + 15$.
Подставим в уравнение:
$5(t^2 + 15) + t = 123$
$5t^2 + 75 + t = 123$
$5t^2 + t - 48 = 0$
Решим это квадратное уравнение через дискриминант:
$D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-48) = 1 + 960 = 961 = 31^2$.
$t_{1,2} = \frac{-1 \pm 31}{2 \cdot 5} = \frac{-1 \pm 31}{10}$.
$t_1 = \frac{-1 + 31}{10} = \frac{30}{10} = 3$.
$t_2 = \frac{-1 - 31}{10} = \frac{-32}{10} = -3.2$.
Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только $t = 3$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt{x^2 + 2x - 15} = 3$
Возведем в квадрат:
$x^2 + 2x - 15 = 9$
$x^2 + 2x - 24 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = -6$ и $x_2 = 4$.
Проверим область допустимых значений: $x^2 + 2x - 15 \ge 0$, или $(x+5)(x-3) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty; -5] \cup [3; +\infty)$.
Корень $x = -6$ принадлежит промежутку $(-\infty; -5]$.
Корень $x = 4$ принадлежит промежутку $[3; +\infty)$.
Оба корня подходят.
Ответ: $-6; 4$.