Номер 11.17, страница 95 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.17. Решите уравнение:

1) $\sqrt{2x+1} + \sqrt{x-3} = 2\sqrt{x}$;

2) $\sqrt{5x-1} - \sqrt{3x-2} = \sqrt{x-1}$;

3) $2\sqrt{3x-1} - \sqrt{x-1} = \sqrt{x-9}$.

1) $\sqrt{2x+1} + \sqrt{x-3} = 2\sqrt{x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} 2x+1 \ge 0 \\ x-3 \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1/2 \\ x \ge 3 \\ x \ge 0 \end{cases} \implies x \ge 3. $

Для $x \ge 3$ обе части уравнения неотрицательны. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x+1} + \sqrt{x-3})^2 = (2\sqrt{x})^2$

$(2x+1) + 2\sqrt{(2x+1)(x-3)} + (x-3) = 4x$

$3x - 2 + 2\sqrt{2x^2 - 6x + x - 3} = 4x$

$3x - 2 + 2\sqrt{2x^2 - 5x - 3} = 4x$

Уединим корень:

$2\sqrt{2x^2 - 5x - 3} = 4x - (3x-2)$

$2\sqrt{2x^2 - 5x - 3} = x + 2$

Поскольку из ОДЗ $x \ge 3$, то правая часть $x+2$ положительна. Снова возведем обе части в квадрат:

$(2\sqrt{2x^2 - 5x - 3})^2 = (x+2)^2$

$4(2x^2 - 5x - 3) = x^2 + 4x + 4$

$8x^2 - 20x - 12 = x^2 + 4x + 4$

$7x^2 - 24x - 16 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-16) = 576 + 448 = 1024 = 32^2$.

$x_1 = \frac{24+32}{2 \cdot 7} = \frac{56}{14} = 4$

$x_2 = \frac{24-32}{2 \cdot 7} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 3$).

Корень $x_1=4$ удовлетворяет условию $4 \ge 3$.

Корень $x_2 = -4/7$ не удовлетворяет условию $-4/7 \ge 3$.

Следовательно, единственным решением является $x=4$.

Ответ: $4$.

2) $\sqrt{5x-1} - \sqrt{3x-2} = \sqrt{x-1}$

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} 5x-1 \ge 0 \\ 3x-2 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1/5 \\ x \ge 2/3 \\ x \ge 1 \end{cases} \implies x \ge 1. $

Перенесем член $\sqrt{3x-2}$ в правую часть, чтобы обе части стали неотрицательными:

$\sqrt{5x-1} = \sqrt{x-1} + \sqrt{3x-2}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{5x-1})^2 = (\sqrt{x-1} + \sqrt{3x-2})^2$

$5x-1 = (x-1) + 2\sqrt{(x-1)(3x-2)} + (3x-2)$

$5x-1 = 4x-3 + 2\sqrt{3x^2 - 2x - 3x + 2}$

$5x-1 = 4x-3 + 2\sqrt{3x^2 - 5x + 2}$

Уединим корень:

$5x-1 - (4x-3) = 2\sqrt{3x^2 - 5x + 2}$

$x+2 = 2\sqrt{3x^2 - 5x + 2}$

При $x \ge 1$ левая часть $x+2$ положительна. Возведем в квадрат еще раз:

$(x+2)^2 = 4(3x^2 - 5x + 2)$

$x^2 + 4x + 4 = 12x^2 - 20x + 8$

$11x^2 - 24x + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-24)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 4 = 576 - 176 = 400 = 20^2$.

$x_1 = \frac{24+20}{2 \cdot 11} = \frac{44}{22} = 2$

$x_2 = \frac{24-20}{2 \cdot 11} = \frac{4}{22} = \frac{2}{11}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 1$).

Корень $x_1=2$ удовлетворяет условию $2 \ge 1$.

Корень $x_2 = 2/11$ не удовлетворяет условию $2/11 \ge 1$.

Таким образом, решением является $x=2$.

Ответ: $2$.

3) $2\sqrt{3x-1} - \sqrt{x-1} = \sqrt{x-9}$

Найдем ОДЗ:

$ \begin{cases} 3x-1 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \\ x-9 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1/3 \\ x \ge 1 \\ x \ge 9 \end{cases} \implies x \ge 9. $

Перепишем уравнение в виде $2\sqrt{3x-1} = \sqrt{x-9} + \sqrt{x-1}$, чтобы обе части были неотрицательны, и возведем в квадрат:

$(2\sqrt{3x-1})^2 = (\sqrt{x-9} + \sqrt{x-1})^2$

$4(3x-1) = (x-9) + 2\sqrt{(x-9)(x-1)} + (x-1)$

$12x - 4 = 2x - 10 + 2\sqrt{x^2 - x - 9x + 9}$

$12x - 4 = 2x - 10 + 2\sqrt{x^2 - 10x + 9}$

Уединим корень:

$12x - 4 - (2x - 10) = 2\sqrt{x^2 - 10x + 9}$

$10x + 6 = 2\sqrt{x^2 - 10x + 9}$

Разделим обе части на 2:

$5x + 3 = \sqrt{x^2 - 10x + 9}$

Для $x \ge 9$ левая часть $5x+3$ положительна. Возведем в квадрат:

$(5x+3)^2 = x^2 - 10x + 9$

$25x^2 + 30x + 9 = x^2 - 10x + 9$

$24x^2 + 40x = 0$

$8x(3x+5) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$

$3x+5=0 \implies x_2 = -5/3$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 9$).

Ни $x_1=0$, ни $x_2=-5/3$ не удовлетворяют этому условию.

Следовательно, у уравнения нет решений.

Ответ: корней нет.