Номер 11.12, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.12. Решите уравнение:

1) $\sqrt{1 + x\sqrt{x^2 + 24}} = x + 1;$

2) $\sqrt{1 + x\sqrt{x^2 - 24}} = x - 1.$

1) Решим уравнение $ \sqrt{1 + x\sqrt{x^2 + 24}} = x + 1 $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня:
$ x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1 $.
Выражение под внутренним корнем $ x^2 + 24 $ всегда положительно при любом $x$. Выражение под внешним корнем $ 1 + x\sqrt{x^2 + 24} $ должно быть неотрицательным, это условие мы проверим для найденных корней.

При условии $ x \ge -1 $ возведем обе части уравнения в квадрат:
$ (\sqrt{1 + x\sqrt{x^2 + 24}})^2 = (x + 1)^2 $
$ 1 + x\sqrt{x^2 + 24} = x^2 + 2x + 1 $
Вычтем 1 из обеих частей:
$ x\sqrt{x^2 + 24} = x^2 + 2x $
$ x\sqrt{x^2 + 24} = x(x + 2) $

Рассмотрим два возможных случая.
Случай 1: $ x = 0 $.
Подставим $ x = 0 $ в исходное уравнение для проверки:
$ \sqrt{1 + 0 \cdot \sqrt{0^2 + 24}} = 0 + 1 $
$ \sqrt{1} = 1 $
$ 1 = 1 $
Равенство верное, и $ x=0 $ удовлетворяет условию $ x \ge -1 $. Следовательно, $ x = 0 $ — корень уравнения.

Случай 2: $ x \neq 0 $.
Разделим обе части уравнения $ x\sqrt{x^2 + 24} = x(x + 2) $ на $x$:
$ \sqrt{x^2 + 24} = x + 2 $
Правая часть нового уравнения также должна быть неотрицательной: $ x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2 $. Учитывая первоначальное ограничение $ x \ge -1 $, мы ищем решения при $ x \ge -1 $ (и $x \neq 0$).
Возведем обе части уравнения $ \sqrt{x^2 + 24} = x + 2 $ в квадрат:
$ x^2 + 24 = (x + 2)^2 $
$ x^2 + 24 = x^2 + 4x + 4 $
$ 24 - 4 = 4x $
$ 20 = 4x $
$ x = 5 $
Проверим найденное значение. $ x=5 $ удовлетворяет условию $ x \ge -1 $. Подставим в исходное уравнение:
$ \sqrt{1 + 5\sqrt{5^2 + 24}} = 5 + 1 $
$ \sqrt{1 + 5\sqrt{49}} = 6 $
$ \sqrt{1 + 5 \cdot 7} = 6 $
$ \sqrt{36} = 6 $
$ 6 = 6 $
Равенство верное, значит, $ x = 5 $ также является корнем.

Ответ: $0; 5$.

2) Решим уравнение $ \sqrt{1 + x\sqrt{x^2 - 24}} = x - 1 $.

Найдем ОДЗ. Должны выполняться следующие условия:
1. $ x^2 - 24 \ge 0 \implies x^2 \ge 24 \implies x \in (-\infty, -2\sqrt{6}] \cup [2\sqrt{6}, \infty) $.
2. $ x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1 $.
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $ x \ge 2\sqrt{6} $. (Так как $ 2\sqrt{6} \approx 4.9 $).

Возведем обе части уравнения в квадрат при $ x \ge 2\sqrt{6} $:
$ (\sqrt{1 + x\sqrt{x^2 - 24}})^2 = (x - 1)^2 $
$ 1 + x\sqrt{x^2 - 24} = x^2 - 2x + 1 $
Вычтем 1 из обеих частей:
$ x\sqrt{x^2 - 24} = x^2 - 2x $
$ x\sqrt{x^2 - 24} = x(x - 2) $

Поскольку $ x \ge 2\sqrt{6} $, то $ x \neq 0 $. Можем разделить обе части на $x$:
$ \sqrt{x^2 - 24} = x - 2 $
Условие неотрицательности правой части $ x - 2 \ge 0 $ (т.е. $x \ge 2$) выполняется, так как $ x \ge 2\sqrt{6} $.
Снова возведем в квадрат:
$ (\sqrt{x^2 - 24})^2 = (x - 2)^2 $
$ x^2 - 24 = x^2 - 4x + 4 $
$ -24 = -4x + 4 $
$ 4x = 28 $
$ x = 7 $

Проверим, удовлетворяет ли корень $ x = 7 $ ОДЗ $ x \ge 2\sqrt{6} $.
Сравним $ 7 $ и $ 2\sqrt{6} $. Возведем в квадрат: $ 7^2 = 49 $ и $ (2\sqrt{6})^2 = 24 $. Так как $ 49 > 24 $, то $ 7 > 2\sqrt{6} $. Корень входит в ОДЗ.
Подставим $ x=7 $ в исходное уравнение:
$ \sqrt{1 + 7\sqrt{7^2 - 24}} = 7 - 1 $
$ \sqrt{1 + 7\sqrt{49 - 24}} = 6 $
$ \sqrt{1 + 7\sqrt{25}} = 6 $
$ \sqrt{1 + 7 \cdot 5} = 6 $
$ \sqrt{36} = 6 $
$ 6 = 6 $
Равенство верное.

Ответ: $7$.