Номер 11.9, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.9. Решите уравнение:

1) $\sqrt{(3x - 1)(4x + 3)} = 3x - 1;$

2) $(x - 1)\sqrt{x^2 - 3x - 3} = 5x - 5.$

Решим уравнение $\sqrt{(3x - 1)(4x + 3)} = 3x - 1$.

Данное иррациональное уравнение вида $\sqrt{A} = B$ равносильно системе, в которой правая часть неотрицательна, а подкоренное выражение равно квадрату правой части:

$\begin{cases} 3x - 1 \ge 0 \\ (3x - 1)(4x + 3) = (3x - 1)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства системы получаем условие, которому должны удовлетворять корни: $3x \ge 1 \Rightarrow x \ge 1/3$.

Теперь решим второе уравнение системы. Перенесем все члены в левую часть:

$(3x - 1)(4x + 3) - (3x - 1)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(3x - 1)$ за скобки:

$(3x - 1)((4x + 3) - (3x - 1)) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(3x - 1)(4x + 3 - 3x + 1) = 0$

$(3x - 1)(x + 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных корня:

$3x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1/3$

$x + 4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4$

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \ge 1/3$.

Корень $x_1 = 1/3$ удовлетворяет условию, так как $1/3 \ge 1/3$.

Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию, так как $-4 < 1/3$. Следовательно, $x = -4$ является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $1/3$.

Решим уравнение $(x - 1)\sqrt{x^2 - 3x - 3} = 5x - 5$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x^2 - 3x - 3 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x - 3 = 0$. Используем формулу для корней квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-3) = 9 + 12 = 21$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$.

Поскольку ветви параболы $y = x^2 - 3x - 3$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 3x - 3 \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами корней. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{2}] \cup [\frac{3 + \sqrt{21}}{2}, \infty)$.

Теперь вернемся к исходному уравнению. Заметим, что правую часть можно разложить на множители: $5x - 5 = 5(x - 1)$.

$(x - 1)\sqrt{x^2 - 3x - 3} = 5(x - 1)$

Перенесем все члены в левую часть:

$(x - 1)\sqrt{x^2 - 3x - 3} - 5(x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x - 1)(\sqrt{x^2 - 3x - 3} - 5) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

Проверим, принадлежит ли этот корень ОДЗ. Подставим $x=1$ в выражение под корнем: $1^2 - 3(1) - 3 = 1 - 3 - 3 = -5$. Поскольку $-5 < 0$, значение $x=1$ не входит в ОДЗ и не является решением.

2) $\sqrt{x^2 - 3x - 3} - 5 = 0 \Rightarrow \sqrt{x^2 - 3x - 3} = 5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x^2 - 3x - 3 = 25$

$x^2 - 3x - 28 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $3$, а их произведение равно $-28$. Подбором находим корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -4$.

Проверим, принадлежат ли эти корни ОДЗ.

Для $x = 7$: $7^2 - 3(7) - 3 = 49 - 21 - 3 = 25$. Поскольку $25 \ge 0$, корень $x=7$ удовлетворяет ОДЗ.

Для $x = -4$: $(-4)^2 - 3(-4) - 3 = 16 + 12 - 3 = 25$. Поскольку $25 \ge 0$, корень $x=-4$ также удовлетворяет ОДЗ.

Следовательно, уравнение имеет два решения.

Ответ: $-4; 7$.