Номер 11.4, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.4. Решите уравнение:

1) $\sqrt[7]{2x-1} = \sqrt[7]{3-x};$

2) $\sqrt{2x-1} = \sqrt{1-2x};$

3) $\sqrt{2x-1} = \sqrt{x-3};$

4) $\sqrt{2x-1} = \sqrt{x^2+4x-16}.$

1) $\sqrt[7]{2x-1} = \sqrt[7]{3-x}$

Данное уравнение содержит корни нечетной степени (седьмой степени). Область определения для корней нечетной степени — все действительные числа, поэтому никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается.

Чтобы решить уравнение, возведем обе его части в седьмую степень:

$(\sqrt[7]{2x-1})^7 = (\sqrt[7]{3-x})^7$

$2x - 1 = 3 - x$

Перенесем члены с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$2x + x = 3 + 1$

$3x = 4$

$x = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

2) $\sqrt{2x-1} = \sqrt{1-2x}$

Данное уравнение содержит корни четной степени (квадратные корни). Выражения под корнями должны быть неотрицательными. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ 1-2x \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $2x \ge 1$, то есть $x \ge \frac{1}{2}$.

Из второго неравенства получаем $1 \ge 2x$, то есть $x \le \frac{1}{2}$.

Единственное значение $x$, удовлетворяющее обоим условиям ($x \ge \frac{1}{2}$ и $x \le \frac{1}{2}$), это $x = \frac{1}{2}$.

Проверим, является ли это значение корнем уравнения, подставив его в исходное уравнение:

$\sqrt{2(\frac{1}{2})-1} = \sqrt{1-2(\frac{1}{2})}$

$\sqrt{1-1} = \sqrt{1-1}$

$\sqrt{0} = \sqrt{0}$

$0 = 0$

Равенство верное, следовательно, $x = \frac{1}{2}$ является единственным решением.

Ответ: $\frac{1}{2}$

3) $\sqrt{2x-1} = \sqrt{x-3}$

Это уравнение с квадратными корнями. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ x-3 \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства: $2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$.

Из второго неравенства: $x \ge 3$.

Пересечением этих двух условий является $x \ge 3$. Это и есть ОДЗ.

Теперь решим уравнение, возведя обе части в квадрат:

$(\sqrt{2x-1})^2 = (\sqrt{x-3})^2$

$2x - 1 = x - 3$

$2x - x = -3 + 1$

$x = -2$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ ($x \ge 3$).

Поскольку $-2 < 3$, корень $x=-2$ не входит в область допустимых значений и является посторонним.

Следовательно, у уравнения нет решений.

Ответ: корней нет

4) $\sqrt{2x-1} = \sqrt{x^2+4x-16}$

Уравнение содержит квадратные корни. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ x^2+4x-16 \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \ge \frac{1}{2}$.

Для решения второго неравенства $x^2+4x-16 \ge 0$ найдем корни уравнения $x^2+4x-16 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = 4^2 - 4(1)(-16) = 16 + 64 = 80$

$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{5}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{5}$

Парабола $y=x^2+4x-16$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -2-2\sqrt{5}] \cup [-2+2\sqrt{5}; +\infty)$.

Совместим это решение с условием $x \ge \frac{1}{2}$. Так как $-2-2\sqrt{5} < 0$ и $-2+2\sqrt{5} \approx -2+2 \cdot 2.24 = 2.48 > \frac{1}{2}$, общая ОДЗ: $x \ge -2+2\sqrt{5}$.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$2x - 1 = x^2 + 4x - 16$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 4x - 2x - 16 + 1 = 0$

$x^2 + 2x - 15 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 \cdot x_2 = -15$ и $x_1 + x_2 = -2$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -2+2\sqrt{5} \approx 2.48$):

$x_1 = 3$. Так как $3 > -2+2\sqrt{5}$, этот корень подходит.

$x_2 = -5$. Так как $-5 < -2+2\sqrt{5}$, этот корень посторонний.

Ответ: 3