Номер 11.6, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.6. Решите уравнение:

1) $\sqrt{2 - x} = x$;

2) $\sqrt{x + 1} = x - 1$;

3) $\sqrt{3x - 2} = x$;

4) $\sqrt{2x^2 - 3x - 10} = x$;

5) $2\sqrt{x + 5} = x + 2$;

6) $\sqrt{15 - 3x} - 1 = x$;

7) $x - \sqrt{2x^2 + x - 21} = 3$;

8) $x + 2 + \sqrt{8 - 3x - x^2} = 0$.

1) $\sqrt{2-x} = x$

Для решения данного иррационального уравнения необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ).
Во-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2 - x \ge 0$, откуда $x \le 2$.
Во-вторых, правая часть уравнения (значение арифметического квадратного корня) также должна быть неотрицательной: $x \ge 0$.
Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $0 \le x \le 2$.
Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$(\sqrt{2-x})^2 = x^2$
$2 - x = x^2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 + x - 2 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -2, а сумма равна -1. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($0 \le x \le 2$).
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $0 \le 1 \le 2$.
Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $-2 < 0$. Это посторонний корень.
Следовательно, у уравнения только одно решение.
Ответ: $1$

2) $\sqrt{x+1} = x-1$

Определим ОДЗ:
1. $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$
2. $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$
Общее ОДЗ: $x \ge 1$.
Возводим обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+1})^2 = (x-1)^2$
$x + 1 = x^2 - 2x + 1$
$x^2 - 3x = 0$
$x(x - 3) = 0$
Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge 1$):
$x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $0 < 1$.
$x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ, так как $3 \ge 1$.
Ответ: $3$

3) $\sqrt{3x-2} = x$

Определим ОДЗ:
1. $3x - 2 \ge 0 \implies 3x \ge 2 \implies x \ge 2/3$
2. $x \ge 0$
Общее ОДЗ: $x \ge 2/3$.
Возводим обе части в квадрат:
$3x - 2 = x^2$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge 2/3$):
$x_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ, так как $1 \ge 2/3$.
$x_2 = 2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $2 \ge 2/3$.
Оба корня подходят.
Ответ: $1; 2$

4) $\sqrt{2x^2-3x-10} = x$

Определим ОДЗ:
1. $2x^2 - 3x - 10 \ge 0$
2. $x \ge 0$
Возводим обе части в квадрат:
$2x^2 - 3x - 10 = x^2$
$x^2 - 3x - 10 = 0$
Найдем корни через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2$
$x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$
Проверяем корни по ОДЗ.
Для $x_1 = -2$: не удовлетворяет условию $x \ge 0$. Это посторонний корень.
Для $x_2 = 5$:
- $5 \ge 0$ (верно).
- Проверим второе условие ОДЗ: $2(5)^2 - 3(5) - 10 = 2(25) - 15 - 10 = 50 - 25 = 25 \ge 0$ (верно).
Следовательно, $x=5$ является решением.
Ответ: $5$

5) $2\sqrt{x+5} = x+2$

Определим ОДЗ:
1. $x + 5 \ge 0 \implies x \ge -5$
2. $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$
Общее ОДЗ: $x \ge -2$.
Возводим обе части в квадрат:
$(2\sqrt{x+5})^2 = (x+2)^2$
$4(x+5) = x^2 + 4x + 4$
$4x + 20 = x^2 + 4x + 4$
$x^2 = 16$
Получаем два возможных корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge -2$):
$x_1 = 4$ удовлетворяет ОДЗ, так как $4 \ge -2$.
$x_2 = -4$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-4 < -2$.
Ответ: $4$

6) $\sqrt{15-3x} - 1 = x$

Сначала изолируем корень:
$\sqrt{15-3x} = x+1$
Определим ОДЗ:
1. $15 - 3x \ge 0 \implies 15 \ge 3x \implies x \le 5$
2. $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$
Общее ОДЗ: $-1 \le x \le 5$.
Возводим обе части в квадрат:
$15 - 3x = (x+1)^2$
$15 - 3x = x^2 + 2x + 1$
$x^2 + 5x - 14 = 0$
Найдем корни через дискриминант: $D = 5^2 - 4(1)(-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.
$x_1 = \frac{-5 - 9}{2} = -7$
$x_2 = \frac{-5 + 9}{2} = 2$
Проверяем корни по ОДЗ ($-1 \le x \le 5$):
$x_1 = -7$ не удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = 2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-1 \le 2 \le 5$.
Ответ: $2$

7) $x - \sqrt{2x^2+x-21} = 3$

Изолируем корень:
$x - 3 = \sqrt{2x^2+x-21}$
Определим ОДЗ:
1. $2x^2 + x - 21 \ge 0$
2. $x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$
Для первого условия найдем корни $2x^2 + x - 21 = 0$: $D = 1^2 - 4(2)(-21) = 1 + 168 = 169 = 13^2$. Корни: $x = \frac{-1 \pm 13}{4}$, то есть $x = 3$ и $x = -3.5$. Неравенство $2x^2 + x - 21 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -3.5] \cup [3, \infty)$.
Общее ОДЗ с учетом $x \ge 3$: $x \ge 3$.
Возводим обе части в квадрат:
$(x - 3)^2 = 2x^2+x-21$
$x^2 - 6x + 9 = 2x^2+x-21$
$x^2 + 7x - 30 = 0$
Найдем корни через дискриминант: $D = 7^2 - 4(1)(-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$.
$x_1 = \frac{-7 - 13}{2} = -10$
$x_2 = \frac{-7 + 13}{2} = 3$
Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge 3$):
$x_1 = -10$ не удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $3$

8) $x + 2 + \sqrt{8-3x-x^2} = 0$

Изолируем корень:
$\sqrt{8-3x-x^2} = -x-2$
Определим ОДЗ:
1. $8 - 3x - x^2 \ge 0 \implies x^2 + 3x - 8 \le 0$
2. $-x - 2 \ge 0 \implies -x \ge 2 \implies x \le -2$
Для первого условия найдем корни $x^2 + 3x - 8 = 0$: $D = 3^2 - 4(1)(-8) = 9 + 32 = 41$. Корни $x = \frac{-3 \pm \sqrt{41}}{2}$. Неравенство $x^2 + 3x - 8 \le 0$ выполняется при $x \in [\frac{-3-\sqrt{41}}{2}, \frac{-3+\sqrt{41}}{2}]$.
Общее ОДЗ с учетом $x \le -2$: $x \in [\frac{-3-\sqrt{41}}{2}, -2]$. (Так как $\frac{-3-\sqrt{41}}{2} \approx -4.7$ и $\frac{-3+\sqrt{41}}{2} \approx 1.7$).
Возводим обе части в квадрат:
$8 - 3x - x^2 = (-x-2)^2$
$8 - 3x - x^2 = x^2 + 4x + 4$
$2x^2 + 7x - 4 = 0$
Найдем корни через дискриминант: $D = 7^2 - 4(2)(-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$.
$x_1 = \frac{-7 - 9}{4} = -4$
$x_2 = \frac{-7 + 9}{4} = 0.5$
Проверяем корни по ОДЗ ($x \in [\frac{-3-\sqrt{41}}{2}, -2]$):
$x_1 = -4$ удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{-3-\sqrt{41}}{2} \approx -4.7$, и $-4.7 \le -4 \le -2$.
$x_2 = 0.5$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $0.5 > -2$.
Ответ: $-4$