Номер 11.7, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.7. Решите уравнение:

1) $\sqrt{10 - 3x} = -x$;

2) $x = \sqrt{x + 5} + 1$;

3) $\sqrt{2x^2 + 5x + 4} = 2x + 2;$

4) $3\sqrt{x + 10} - 11 = 2x$;

5) $x - \sqrt{3x^2 - 11x - 20} = 5.$

1) $\sqrt{10-3x} = -x$

Для решения иррационального уравнения необходимо определить область допустимых значений (ОДЗ), а затем возвести обе части в квадрат. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения тоже, так как она равна значению арифметического квадратного корня.

ОДЗ:

$ \begin{cases} 10 - 3x \ge 0 \\ -x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} -3x \ge -10 \\ x \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le \frac{10}{3} \\ x \le 0 \end{cases} \implies x \le 0 $

Теперь возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$(\sqrt{10-3x})^2 = (-x)^2$

$10 - 3x = x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 3x - 10 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 7}{2}$

$x_1 = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \le 0$):

Корень $x_1 = -5$ удовлетворяет условию $x \le 0$.

Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет условию $x \le 0$, следовательно, является посторонним.

Ответ: -5

2) $x = \sqrt{x+5} + 1$

Сначала уединим радикал в одной части уравнения:

$x - 1 = \sqrt{x+5}$

Определим ОДЗ. Подкоренное выражение и выражение, равное корню, должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} x + 5 \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ x \ge 1 \end{cases} \implies x \ge 1 $

Возведем обе части уравнения $x-1 = \sqrt{x+5}$ в квадрат:

$(x-1)^2 = (\sqrt{x+5})^2$

$x^2 - 2x + 1 = x + 5$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -4. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$. Либо через дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$

$x_{1,2} = \frac{3 \pm 5}{2}$

$x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4$

$x_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 1$):

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию.

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию, это посторонний корень.

Ответ: 4

3) $\sqrt{2x^2+5x+4} = 2x+2$

Определим ОДЗ. Выражение в правой части должно быть неотрицательным:

$2x+2 \ge 0 \implies 2x \ge -2 \implies x \ge -1$

Проверим подкоренное выражение $2x^2+5x+4$. Дискриминант этого трехчлена: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 25 - 32 = -7$. Так как $D < 0$, а старший коэффициент ($2 > 0$), то выражение $2x^2+5x+4$ всегда положительно. Таким образом, ОДЗ определяется только условием $x \ge -1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x^2+5x+4})^2 = (2x+2)^2$

$2x^2+5x+4 = 4x^2 + 8x + 4$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = 2x^2 + 3x$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(2x+3) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$ или $2x+3 = 0 \implies x_2 = -1.5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -1$):

Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию.

Корень $x_2 = -1.5$ не удовлетворяет условию, является посторонним.

Ответ: 0

4) $3\sqrt{x+10} - 11 = 2x$

Уединим радикал:

$3\sqrt{x+10} = 2x + 11$

Определим ОДЗ:

$ \begin{cases} x + 10 \ge 0 \\ 2x + 11 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -10 \\ x \ge -5.5 \end{cases} \implies x \ge -5.5 $

Возведем обе части уравнения $3\sqrt{x+10} = 2x+11$ в квадрат:

$(3\sqrt{x+10})^2 = (2x+11)^2$

$9(x+10) = 4x^2 + 44x + 121$

$9x + 90 = 4x^2 + 44x + 121$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$4x^2 + 35x + 31 = 0$

Решим через дискриминант:

$D = 35^2 - 4 \cdot 4 \cdot 31 = 1225 - 496 = 729 = 27^2$

$x_{1,2} = \frac{-35 \pm 27}{8}$

$x_1 = \frac{-35 - 27}{8} = \frac{-62}{8} = -\frac{31}{4} = -7.75$

$x_2 = \frac{-35 + 27}{8} = \frac{-8}{8} = -1$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -5.5$):

Корень $x_1 = -7.75$ не удовлетворяет условию.

Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет условию.

Ответ: -1

5) $x - \sqrt{3x^2-11x-20} = 5$

Уединим радикал:

$x - 5 = \sqrt{3x^2-11x-20}$

Определим ОДЗ. Левая часть уравнения должна быть неотрицательной:

$x - 5 \ge 0 \implies x \ge 5$

Также проверим подкоренное выражение $3x^2-11x-20 \ge 0$. Найдем корни трехчлена $3x^2-11x-20 = 0$:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 121 + 240 = 361 = 19^2$

$x_{1,2} = \frac{11 \pm 19}{6} \implies x_1 = -\frac{4}{3}, x_2 = 5$

Неравенство $3x^2-11x-20 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -4/3] \cup [5; +\infty)$.

Пересекая это условие с $x \ge 5$, получаем итоговое ОДЗ: $x \ge 5$.

Возведем обе части уравнения $x-5 = \sqrt{3x^2-11x-20}$ в квадрат:

$(x-5)^2 = 3x^2 - 11x - 20$

$x^2 - 10x + 25 = 3x^2 - 11x - 20$

Приведем к стандартному виду:

$2x^2 - x - 45 = 0$

Решим через дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-45) = 1 + 360 = 361 = 19^2$

$x_{1,2} = \frac{1 \pm 19}{4}$

$x_1 = \frac{1 - 19}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5$

$x_2 = \frac{1 + 19}{4} = \frac{20}{4} = 5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 5$):

Корень $x_1 = -4.5$ не удовлетворяет условию.

Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию.

Ответ: 5