Номер 11.11, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.11. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $x - \sqrt{x} - 12 = 0;$

2) $\sqrt[3]{x^2} + 8 = 9\sqrt[3]{x};$

3) $\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}} = 1;$

4) $\sqrt{x+5} - 3\sqrt[4]{x+5} + 2 = 0;$

5) $\frac{1}{\sqrt[3]{x}+1} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}+3} = 1;$

6) $\sqrt[6]{9-6x+x^2} + 2\sqrt[6]{3-x} - 8 = 0;$

7) $x^2 - x + 4 + \sqrt{x^2-x+4} = 6;$

8) $\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}} + \sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}} = 2.5;$

1) $x - \sqrt{x} - 12 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$.

Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как корень арифметический, $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$. Подставим в уравнение:

$t^2 - t - 12 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -3$.

Так как $t \ge 0$, корень $t_2 = -3$ является посторонним. Остается $t = 4$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x} = 4$

Возведем обе части в квадрат:

$x = 16$

Корень $x=16$ удовлетворяет ОДЗ ($16 \ge 0$).

Ответ: 16.

2) $\sqrt[3]{x^2} + 8 = 9\sqrt[3]{x}$

Перенесем все члены в левую часть: $\sqrt[3]{x^2} - 9\sqrt[3]{x} + 8 = 0$. ОДЗ: $x \in R$.

Пусть $t = \sqrt[3]{x}$. Тогда $\sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[3]{x})^2 = t^2$. Уравнение принимает вид:

$t^2 - 9t + 8 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 8$.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1) $\sqrt[3]{x} = 1 \implies x = 1^3 = 1$

2) $\sqrt[3]{x} = 8 \implies x = 8^3 = 512$

Ответ: 1; 512.

3) $\sqrt{x} - \frac{2}{\sqrt{x}} = 1$

ОДЗ: подкоренное выражение неотрицательно, а знаменатель не равен нулю, следовательно $x > 0$.

Пусть $t = \sqrt{x}$. Учитывая ОДЗ, $t > 0$. Подставляем в уравнение:

$t - \frac{2}{t} = 1$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \ne 0$):

$t^2 - 2 = t$

$t^2 - t - 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$. Остается $t = 2$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x} = 2$

$x = 4$

Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 > 0$).

Ответ: 4.

4) $\sqrt{x+5} - 3\sqrt[4]{x+5} + 2 = 0$

ОДЗ: $x+5 \ge 0 \implies x \ge -5$.

Заметим, что $\sqrt{x+5} = (\sqrt[4]{x+5})^2$. Пусть $t = \sqrt[4]{x+5}$, тогда $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$. Оба корня неотрицательны.

Выполним обратную замену:

1) $\sqrt[4]{x+5} = 1 \implies x+5 = 1^4 \implies x+5=1 \implies x = -4$

2) $\sqrt[4]{x+5} = 2 \implies x+5 = 2^4 \implies x+5=16 \implies x = 11$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge -5$).

Ответ: -4; 11.

5) $\frac{1}{\sqrt[3]{x}+1} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}+3} = 1$

ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю. $\sqrt[3]{x}+1 \ne 0 \implies x \ne -1$ и $\sqrt[3]{x}+3 \ne 0 \implies x \ne -27$.

Пусть $t = \sqrt[3]{x}$. Тогда $t \ne -1$ и $t \ne -3$. Уравнение принимает вид:

$\frac{1}{t+1} + \frac{2}{t+3} = 1$

Приведем к общему знаменателю и решим уравнение:

$\frac{t+3 + 2(t+1)}{(t+1)(t+3)} = 1$

$t+3+2t+2 = (t+1)(t+3)$

$3t+5 = t^2+4t+3$

$t^2+t-2=0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1=1$ и $t_2=-2$. Оба корня не совпадают с ограничениями $t \ne -1$ и $t \ne -3$.

Выполним обратную замену:

1) $\sqrt[3]{x} = 1 \implies x = 1^3 = 1$

2) $\sqrt[3]{x} = -2 \implies x = (-2)^3 = -8$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -8; 1.

6) $\sqrt[6]{9-6x+x^2} + 2\sqrt[6]{3-x} - 8 = 0$

ОДЗ: $3-x \ge 0 \implies x \le 3$. Выражение $9-6x+x^2 = (3-x)^2$ всегда неотрицательно.

Заметим, что $\sqrt[6]{9-6x+x^2} = \sqrt[6]{(3-x)^2} = \sqrt[3]{|3-x|}$. Так как по ОДЗ $3-x \ge 0$, то $|3-x| = 3-x$.

Уравнение можно переписать как: $\sqrt[3]{3-x} + 2\sqrt[6]{3-x} - 8 = 0$.

Пусть $t = \sqrt[6]{3-x}$, тогда $t \ge 0$. Заметим, что $\sqrt[3]{3-x} = (\sqrt[6]{3-x})^2 = t^2$.

Получаем уравнение:

$t^2 + 2t - 8 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1=2$ и $t_2=-4$.

Корень $t_2=-4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$. Остается $t=2$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt[6]{3-x} = 2$

$3-x = 2^6 \implies 3-x = 64 \implies x = 3-64 = -61$

Корень $x=-61$ удовлетворяет ОДЗ ($x \le 3$).

Ответ: -61.

7) $x^2 - x + 4 + \sqrt{x^2 - x + 4} = 6$

ОДЗ: $x^2 - x + 4 \ge 0$. Дискриминант этого трехчлена $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -15 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, выражение $x^2 - x + 4$ всегда положительно. ОДЗ: $x \in R$.

Пусть $t = \sqrt{x^2 - x + 4}$. Тогда $t > 0$. Заметим, что $x^2 - x + 4 = t^2$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 + t = 6$

$t^2 + t - 6 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -3$.

Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t > 0$. Остается $t=2$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x^2 - x + 4} = 2$

Возведем в квадрат обе части:

$x^2 - x + 4 = 4$

$x^2 - x = 0$

$x(x-1) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Ответ: 0; 1.

8) $\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}} + \sqrt{\frac{2x-3}{3x+2}} = 2,5$

ОДЗ: выражения под корнями должны быть неотрицательны, а знаменатели дробей не равны нулю. Это выполняется, когда $\frac{3x+2}{2x-3} > 0$. Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in (-\infty; -2/3) \cup (3/2; +\infty)$.

Пусть $t = \sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}}$. Тогда $t > 0$. Второй член уравнения является $\frac{1}{t}$.

Уравнение принимает вид:

$t + \frac{1}{t} = 2,5$

$t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$

Умножим на $2t$ (так как $t \ne 0$):

$2t^2 + 2 = 5t$

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$t_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Оба корня положительны и подходят.

Выполним обратную замену:

1) $\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}} = \frac{1}{2} \implies \frac{3x+2}{2x-3} = \frac{1}{4} \implies 4(3x+2) = 2x-3 \implies 12x+8=2x-3 \implies 10x=-11 \implies x = -1,1$.

2) $\sqrt{\frac{3x+2}{2x-3}} = 2 \implies \frac{3x+2}{2x-3} = 4 \implies 3x+2 = 4(2x-3) \implies 3x+2 = 8x-12 \implies 14=5x \implies x = 2,8$.

Проверим корни по ОДЗ: $x = -1,1$ входит в интервал $(-\infty; -2/3)$. $x = 2,8$ входит в интервал $(3/2; +\infty)$. Оба корня подходят.

Ответ: -1,1; 2,8.