Номер 11.8, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.8. Решите уравнение:

1) $\sqrt{(2x+3)(x-4)} = x-4;$

2) $\sqrt{(x-2)(2x-5)} + 2 = x;$

3) $(x+2)\sqrt{x^2-x-20} = 6x+12;$

4) $(x+1)\sqrt{x^2-5x+5} = x+1.$

1) $\sqrt{(2x + 3)(x - 4)} = x - 4$

Данное иррациональное уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе, состоящей из уравнения $f(x) = g(x)^2$ и неравенства $g(x) \ge 0$.

$\begin{cases} (2x + 3)(x - 4) = (x - 4)^2, \\ x - 4 \ge 0. \end{cases}$

Сначала решим первое уравнение системы:

$(2x + 3)(x - 4) - (x - 4)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 4)$ за скобки:

$(x - 4)((2x + 3) - (x - 4)) = 0$

$(x - 4)(2x + 3 - x + 4) = 0$

$(x - 4)(x + 7) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -7$.

Теперь необходимо проверить эти корни на соответствие второму условию системы: $x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$.

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию, так как $4 \ge 4$ (верное неравенство).

Корень $x_2 = -7$ не удовлетворяет условию, так как $-7 \ge 4$ (неверное неравенство). Этот корень является посторонним.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $4$.

2) $\sqrt{(x - 2)(2x - 5)} + 2 = x$

Для начала изолируем радикал, перенеся 2 в правую часть уравнения:

$\sqrt{(x - 2)(2x - 5)} = x - 2$

Данное уравнение, как и предыдущее, равносильно системе:

$\begin{cases} (x - 2)(2x - 5) = (x - 2)^2, \\ x - 2 \ge 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$(x - 2)(2x - 5) - (x - 2)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2)((2x - 5) - (x - 2)) = 0$

$(x - 2)(2x - 5 - x + 2) = 0$

$(x - 2)(x - 3) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Проверим оба корня по условию $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию, так как $2 \ge 2$ (верно).

Корень $x_2 = 3$ также удовлетворяет условию, так как $3 \ge 2$ (верно).

Следовательно, оба значения являются корнями исходного уравнения.

Ответ: $2; 3$.

3) $(x + 2)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6x + 12$

Преобразуем правую часть уравнения, вынеся 6 за скобки: $6x + 12 = 6(x + 2)$.

$(x + 2)\sqrt{x^2 - x - 20} = 6(x + 2)$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $(x + 2)$:

$(x + 2)\sqrt{x^2 - x - 20} - 6(x + 2) = 0$

$(x + 2)(\sqrt{x^2 - x - 20} - 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Прежде чем рассматривать каждый случай, найдем область допустимых значений (ОДЗ) из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

ОДЗ: $x^2 - x - 20 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 20 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 5$, $x_2 = -4$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -4] \cup [5, \infty)$.

Теперь рассмотрим два случая:

1. $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$. Этот корень не входит в ОДЗ, так как $-4 < -2 < 5$. Следовательно, $x = -2$ не является решением.

2. $\sqrt{x^2 - x - 20} - 6 = 0 \Rightarrow \sqrt{x^2 - x - 20} = 6$.

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 - x - 20 = 36$

$x^2 - x - 56 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 8$ и $x_2 = -7$.

Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ.

Корень $x_1 = 8$ входит в ОДЗ, так как $8 \in [5, \infty)$.

Корень $x_2 = -7$ входит в ОДЗ, так как $-7 \in (-\infty, -4]$.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $-7; 8$.

4) $(x + 1)\sqrt{x^2 - 5x + 5} = x + 1$

Перенесем правую часть налево и вынесем общий множитель $(x + 1)$:

$(x + 1)\sqrt{x^2 - 5x + 5} - (x + 1) = 0$

$(x + 1)(\sqrt{x^2 - 5x + 5} - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Найдем ОДЗ.

ОДЗ: $x^2 - 5x + 5 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 5 = 0$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 25 - 20 = 5$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{5 - \sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{5 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$.

Рассмотрим два случая:

1. $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.

Проверим, входит ли $x = -1$ в ОДЗ. Так как $\sqrt{5} \approx 2.236$, то $\frac{5 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{5 - 2.236}{2} \approx 1.382$. Поскольку $-1 \le 1.382$, корень $x=-1$ входит в ОДЗ. Проверкой убеждаемся, что он является решением: $( -1 + 1)\sqrt{(-1)^2 - 5(-1) + 5} = -1 + 1 \Rightarrow 0=0$.

2. $\sqrt{x^2 - 5x + 5} - 1 = 0 \Rightarrow \sqrt{x^2 - 5x + 5} = 1$.

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 - 5x + 5 = 1$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ.

Для $x=1$: $1 \le \frac{5 - \sqrt{5}}{2} \approx 1.382$, значит корень $x=1$ входит в ОДЗ.

Для $x=4$: $4 \ge \frac{5 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{5 + 2.236}{2} \approx 3.618$, значит корень $x=4$ входит в ОДЗ.

Таким образом, все три найденных значения являются корнями уравнения.

Ответ: $-1; 1; 4$.