Номер 13.2, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

13.2. Решите неравенство:

1) $\sqrt{2x - 4} \ge \sqrt{5 - x}$;

2) $\sqrt{x} < \sqrt{x + 1}$;

3) $\sqrt{x^2 + x} < \sqrt{x^2 + 1}$;

4) $\sqrt{x^2 - 3x + 1} > \sqrt{2x - 3}$;

5) $\sqrt{8 - 5x} \ge \sqrt{x^2 - 16}$;

6) $\sqrt{x^2 - 3x + 2} < \sqrt{2x^2 - 3x + 1}$.

1) Решим неравенство $\sqrt{2x-4} \ge \sqrt{5-x}$.
Данное иррациональное неравенство равносильно системе, включающей в себя область определения и результат возведения в квадрат обеих неотрицательных частей:
$ \begin{cases} 2x - 4 \ge 0 \\ 5 - x \ge 0 \\ 2x - 4 \ge 5 - x \end{cases} $
Решим каждое неравенство системы по отдельности:
1. $2x - 4 \ge 0 \implies 2x \ge 4 \implies x \ge 2$.
2. $5 - x \ge 0 \implies 5 \ge x \implies x \le 5$.
3. $2x - 4 \ge 5 - x \implies 3x \ge 9 \implies x \ge 3$.
Теперь найдем пересечение полученных множеств решений: $x \ge 2$, $x \le 5$ и $x \ge 3$.
На числовой прямой это будет пересечение луча $[2, +\infty)$, луча $(-\infty, 5]$ и луча $[3, +\infty)$.
Общим решением является промежуток $[3, 5]$.
Ответ: $[3; 5]$.

2) Решим неравенство $\sqrt{x} < \sqrt{x+1}$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которой оба подкоренных выражения неотрицательны:
$ \begin{cases} x \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} $ $\implies$ $ \begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge -1 \end{cases} $ $\implies x \ge 0$.
На ОДЗ ($x \in [0; +\infty)$) обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt{x})^2 < (\sqrt{x+1})^2$
$x < x+1$
$0 < 1$
Полученное неравенство $0 < 1$ является верным при любых значениях $x$. Следовательно, решение исходного неравенства совпадает с его областью допустимых значений.
Ответ: $[0; +\infty)$.

3) Решим неравенство $\sqrt{x^2+x} < \sqrt{x^2+1}$.
Данное неравенство равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2+x \ge 0 \\ x^2+1 > x^2+x \end{cases} $
(Условие $x^2+1 \ge 0$ выполняется для любых $x$, так как $x^2 \ge 0$).
Решим каждое неравенство системы:
1. $x^2+x \ge 0 \implies x(x+1) \ge 0$. Решением этого квадратного неравенства является объединение промежутков $(-\infty; -1] \cup [0; +\infty)$.
2. $x^2+1 > x^2+x \implies 1 > x \implies x < 1$. Решением является промежуток $(-\infty; 1)$.
Найдем пересечение решений: $((-\infty; -1] \cup [0; +\infty)) \cap (-\infty; 1)$.
Пересечение $(-\infty; -1]$ с $(-\infty; 1)$ дает $(-\infty; -1]$.
Пересечение $[0; +\infty)$ с $(-\infty; 1)$ дает $[0; 1)$.
Объединяя эти результаты, получаем окончательное решение.
Ответ: $(-\infty; -1] \cup [0; 1)$.

4) Решим неравенство $\sqrt{x^2-3x+1} > \sqrt{2x-3}$.
Данное неравенство равносильно системе:
$ \begin{cases} 2x-3 \ge 0 \\ x^2-3x+1 > 2x-3 \end{cases} $
(Условие $x^2-3x+1 \ge 0$ будет выполнено автоматически, если выполнено второе неравенство системы).
Решим каждое неравенство:
1. $2x-3 \ge 0 \implies 2x \ge 3 \implies x \ge \frac{3}{2}$.
2. $x^2-3x+1 > 2x-3 \implies x^2-5x+4 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2-5x+4=0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$, $x_2=4$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства $x^2-5x+4 > 0$ есть $x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.
Теперь найдем пересечение решений системы: $x \ge \frac{3}{2}$ и $x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.
Поскольку $\frac{3}{2} = 1.5$, пересечение с интервалом $(-\infty; 1)$ пусто. Остается найти пересечение $[\frac{3}{2}; +\infty) \cap (4; +\infty)$, что дает $(4; +\infty)$.
Ответ: $(4; +\infty)$.

5) Решим неравенство $\sqrt{8-5x} \ge \sqrt{x^2-16}$.
Неравенство равносильно системе:
$ \begin{cases} 8-5x \ge 0 \\ x^2-16 \ge 0 \\ 8-5x \ge x^2-16 \end{cases} $
Решим каждое неравенство:
1. $8-5x \ge 0 \implies 8 \ge 5x \implies x \le \frac{8}{5}$, т.е. $x \le 1.6$.
2. $x^2-16 \ge 0 \implies (x-4)(x+4) \ge 0 \implies x \in (-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.
3. $8-5x \ge x^2-16 \implies 0 \ge x^2+5x-24 \implies x^2+5x-24 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2+5x-24=0$. $D = 25 - 4(1)(-24) = 121 = 11^2$. Корни $x_{1,2} = \frac{-5 \pm 11}{2}$, то есть $x_1=-8$, $x_2=3$.
Решение неравенства $x^2+5x-24 \le 0$ есть отрезок $[-8; 3]$.
Найдем пересечение трех множеств: $(-\infty; 1.6]$, $((-\infty; -4] \cup [4; +\infty))$ и $[-8; 3]$.
Сначала найдем ОДЗ (пересечение первых двух условий): $(-\infty; 1.6] \cap ((-\infty; -4] \cup [4; +\infty)) = (-\infty; -4]$.
Теперь пересечем ОДЗ с решением третьего неравенства: $(-\infty; -4] \cap [-8; 3]$.
Результатом является отрезок $[-8; -4]$.
Ответ: $[-8; -4]$.

6) Решим неравенство $\sqrt{x^2-3x+2} < \sqrt{2x^2-3x+1}$.
Данное неравенство равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2-3x+2 \ge 0 \\ x^2-3x+2 < 2x^2-3x+1 \end{cases} $
Решим оба неравенства:
1. $x^2-3x+2 \ge 0 \implies (x-1)(x-2) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)$.
2. $x^2-3x+2 < 2x^2-3x+1 \implies 1 < x^2 \implies x^2 - 1 > 0 \implies (x-1)(x+1)>0$. Решением является $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.
Теперь найдем пересечение решений: $((-\infty; 1] \cup [2; +\infty)) \cap ((-\infty; -1) \cup (1; +\infty))$.
Разобьем на части:
- Пересечение $(-\infty; 1]$ с $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$ дает $(-\infty; -1)$.
- Пересечение $[2; +\infty)$ с $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$ дает $[2; +\infty)$.
Объединяя полученные множества, получаем итоговый ответ.
Ответ: $(-\infty; -1) \cup [2; +\infty)$.